Инварианты более высоких порядков.

Рассмотренные ранее три адиабатических инварианта, которые характеризуют движение частицы в магнитном поле при условии, что это движение может быть приближенно представлено как колебательное по трем степеням свободы, будут членами наинизшего порядка в асимптотических рядах вида

Ранее мы не делали различия между инвариантами нулевого порядка и асимптотическими инвариантами, представленными следующими членами соответствующего ряда в (5.34). Однако при выводе уравнения движения ведущего центра мы видели, что имеются поправки более высоких порядков к уравнению ведущего центра (5.17), пропорционально параметру разложения согласно (5.16). Применение этого параметра разложения эквивалентно выполнению условий адиабатичности (5.1). Если учесть члены более высокого порядка из (5.16), то в уравнении ведущего центра (5.18) значение уже не будет равно а будет включать эти члены более высокого порядка. Ясно, что мы получим более точное значение адиабатического интеграла при более высоких порядках адиабатических параметров (5.1) и что параметр разложениях (5.34) можно связать с этими параметрами. Для частиц, вращающихся в магнитном поле, можно дать эквивалентную запись разложения в виде степеней отношения массы к заряду так как

Чтобы получить выражение для инвариантов в виде разложения (5.34), можно использовать метод Крускала [32], описанный в § 2.4. Если канонические уравнения движения, зависящие от переменных, соответствующих степеням свободы, являются периодическими по одной переменной в нулевом порядке некоторого параметра то можно найти преобразование к новой системе координат, в которой уравнения движения имеют вид:

так что движение не зависит от значения угловой переменной и в нулевом порядке -компонентный вектор постоянен. Все компоненты являются разложениями по и можно показать, что эти уравнения удовлетворяются в отдельности для любой степени Для такой системы Крускал показал, что из канонических переменных можно ностроить адиабатический инвариант

который адиабатически постоянен в отдельности в каждом порядке по Для частицы, вращающейся в магнитном поле, Если в предположении существует вторая периодичность в наинизшем порядке по то второй, инвариант может быть обобщен на любой порядок по следующим образом. Произведем каноническое преобразование от к новой системе координат с новым гамильтонианом который будет циклическим по так как Преобразование к новому набору переменных даст второй адиабатический инвариант

который также постоянен (независимо) в любом порядке по Дополнительные канонические преобразования приведут к дополнительным адиабатическим инвариантам при условии, что движение является периодическим в наинизшем порядке по Для частицы, вращающейся в магнитном поле, можно найти три таких инварианта, что соответствует трем степеням свободы, для которых в нулевом порядке по уже найден каждый инвариант. Вычисление инвариантов в первом порядке по может быть необходимым при определении дрейфовых поверхностей, как уже показано в § 2.4. Аналитический расчет в первом приближении для вращающейся частицы довольно сложен. Крускал [31] и Нортроп [43], а также Гарднер [24] вычислили в первом приближении. Нортроп, Ли и Крускал [43] вычислили также в первом приближении продольный инвариант Приведем значения в первом порядке, полученные Зимбисом и Нортропом [55]. Для магнитного момента имеем

где ортогональный набор единичных векторов, причем вектор исходит из центра кривизны линии поля; символ «:»

означает диадное произведение. Выражение для продольного» инварианта:

где дрейф берется из (5.22). Все величины вычисляются на радиусе ведущего центра.