Численный расчет циклотронного взаимодействия в ловушках с магнитными пробками.

Границы адиабатического поведения. Применение гамильтоновского формализма для вычисления влияния циклотронного резонансного нагрева ограничено рядом предположений: 1) возмущающий член в гамильтониане должен быть малым; 2) изменение переменных должно быть малым в течение периода усреднения; 3) уравнения, полученные Зейделем, нерелятивистские.

Чтобы выяснить, насколько существенны эти ограничения, численным методом решены точные уравнения движения для нескольких частных случаев. Результаты проведенных вычислений показывают, что адиабатический инвариант существует даже во внешней области, в которой, как полагают, теория возмущений верна.

Рис. 5.18. (см. скан) Фазовые траектории в плоскости соответствующие приложенной частоте, которая, равна циклотронной частоте в средней плоскости, и при ВЧ поле выше критического .

Однако для длинных ловушек и больших приращений канонической фазы существует переход к неадиабатическому поведению.

Этот результат согласуется с поведением частицы в статических полях, как следует из численных расчетов, приведенных в § 3.3.

Релятивистское уравнение движения электрона в электрическом и магнитном полях можно записать следующим образом:

где Магнитное поле вблизи оси ловушки аппроксимируется выражениями

где пробочное отношение; магнитное поле в средней плоскости координаты магнитных пробок.

Рис. 5.19. Фазовые траектории в плоскости соответствующие прикладываемой частоте, которая на 2% выше, чем циклотронная частота в средней плоскости для низкоэнергетических электронов:

Электромагнитная волна с круговой поляризацией, распространяющаяся вдоль оси задается так:

Нужно решить Численно шесть уравнений (5.153) и (5.154), чтобы получить движение частицы в различных полях при различных

начальных условиях. Используя (5.116), (5.121) и (5.122), Зейдель вычислил фазовые траектории (см. рис. 5.19), соответствующие следующим параметрам: циклотронный резонанс при для Для магнитного поля (5.155) Зейдель использовал эмпирически подобранную форму магнитного поля с длиной ловушки, равной Тума и Лихтенберг [66], используя эти значения (для упрощения аппроксимации они выбрали более короткую ловушку с получили численные результаты, представленные на рис. Кинетическая энергия электрона, перпендикулярная скорость электрона и магнитное поле даны в зависимости от входной фазы между ВЧ волной и циклотронной орбитой. На рис. 5.20, а максимальное изменение энергии электрона равно 30%, что совпадает с результатом, вычисленным по методу возмущений. На рис. 5.20, б напряженность электрического поля увеличена на порядок. Осцилляторная природа энергии электрона для случая больших электрических полей четко указывает на существование инварианта вопреки тому, что вычисления в первом приближении теории возмущений перестают быть справедливыми.

На рис. 5.21 дана диаграмма скорость—фаза, аналогичная диаграмме рис. 5.19 для параметров Зейделя. Различные начальные фазы порождают набор кривых постоянного инварианта. Эти результаты также находятся в количественном согласии с вычислениями по теории возмущений и являются гладкими в том смысле, что для данной фазы найдены только два значения скорости, что характеризует существование интеграла движения. Числа вдоль кривых указывают последовательность пересечений области резонанса, при которых вычислялись скорость и фаза. Они несколько отличаются от средних значений, вычисленных по теории возмущений, но так как энергии и фазы осциллируют при удалении от резонанса, разница эта невелика. По форме численные результаты совершенно аналогичны результатам, которые дает теория возмущений, но численные методы применимы в более широком диапазоне значений Причина этих расхождений не ясна, но расхождения эти не вызваны использованием поверхности сечения для численных расчетов (см. Дополнение).

Диаграммы на рис. 5.20 и 5.21 соответствуют электронам, не проникающим глубоко в область магнитной пробки. Значение В в области проникновения лишь на 4% болыце значения В в средней плоскости. При этом выполняются условия, усреднения по продольному движению, которые требуют, чтобы фаза вращения во вращательной системе отсчета задаваемая (5.125), изменялась медленно в сравнении с продольной фазой. Если это не так, метод усреднения, который приводит к образованию адиабатических инвариантов, использовать нельзя. Из результатов § 2.4 и 5.3 можно ожидать, что в случае глубокого проникновения в пробку инварианты

перестанут существовать. На рис. 5.22 цифрами показана последовательность области пересечений резонанса для глубокого проникновения в пробку. Этот результат демонстрирует исчезновение инвариантов, так как точки на фазовой плоскости, соответствующие пересечениям области резонанса, беспорядочно разбросаны.

Рис. 5.20. (см. скан) Зависимость от времени нормированной кинетической энергии , нормированной поперечной скорости и нормированного магнитного поля которое действует на электроны во время движения;

Как и в § 2.4 и 5.3, переход, при котором адиабатические инварианты перестают существовать, может быть определен только численными методами.

Имеется ряд важных выводов относительно перехода от адиабатического поведения к неадиабатическому. Вывод Зейделя о том, что непрерывный циклотронный резонансный нагрев не имеет места в ловушках с магнитными пробками, приложим только к ловушкам с сильно анизотропным распределением частиц по скоростям, которое применяется как в экспериментах с инжекцией нейтралов, так и в экспериментах с пробочным сжатием, следующим после цикла

сжатия. Однако для относительно изотропной инжекции и нагрева в цикле сжатия глубокое проникновение в пробки должно приводить к стохастическому нагреву. Как адиабатическое, так и неадиабатическое поведение было обнаружено экспериментально [39]

(см. скан)

В § 5.4 описана теория стохастического нагрева и проведено сравнение выводов теории с экспериментом.

Далее отметим, что при достаточно низких энергиях инжекции частицы могут эффективно захватываться, так как резонансное циклотронное взаимодействие увеличивает поперечную скорость. На рис. 5.23 приведены типичный результат для инжекции при низких энергиях (30 эв) и резонансный средний путь между средней плоскостью и пробкой. Начальная фаза замедляется, однако, как видно из (5.143), изменение энергии для более длительных времен всегда положительно, что приводит к захвату.

Отметим еще, что время, в течение которого частица находится в резонансной области, почти не зависит от фазы. Если последующее движение можно связать с существованием инварианта, то частицы могут резонансно возвратиться в конус потерь. В случае отсутствия инварианта времена удержания могут быть больше. Эти зависимости рассмотрены подробно в § 5.5.