Решение автономных уравнений со слабой нелинейностью методом возмущений.

Рассмотрим слабо нелинейное уравнение вида

которое, как предполагается, имеет периодические решения. Величина может быть действительным маленьким числом, на которое умножается нелинейный член, или, наоборот, если сама функция мала, она может задавать процедуру разложения, т. е. она вводится произвольно и сводит задачу к линейной в случае в случае же возвращаемся к нашей задаче. В выражении

удобно провести замену переменных через тогда выражение (1.119) примет следующий вид:

где штрих означает дифференцирование по . Замена переменных упрощает выбор периодичности, и, фиксируя произвольные начальные координаты, получаем

Считаем, что и зависят от амплитуды А и от Так как мало, попытаемся найти решение в виде степенного ряда по

подставляя решения в (1.120), приравниваем члены при соответствующих степенях и получаем последовательно поправки более высокого порядка к Проиллюстрируем эту процедуру на примере слегка нелинейной пружины:

Фактор 7 введен для размерности и может быть взят как положительным, так и отрицательным.

Подставляя (1.122) в (1.123), имеем выражение

которое для членов нулевого порядка по дает Это уравнение с учетом начальных условий (1.121) имеет решение

Как и ожидалось, это есть решение линейной задачи Члены первого порядка по дают

подставляя решения нулевого порядка (1.125) в (1.126), получаем

Периодичность х требует, чтобы коэффициент вынуждающей силы при был равен нулю, ибо иначе будет резонанс [см. (1.104)]

который приведет к линейному росту секулярных членов с увеличением Это требование дает сдвиг по частоте

и выражение для принимает вид

Вводя начальные условия для

получаем выражение

которое дает сдвиг по х, обусловленный нелинейностью. Эта процедура может быть продолжена для более высоких порядков разложения по Отметим здесь, что если бы мы предположили, что только х меняется с возмущенной амплитудой, в то время как величина остается фиксированной, то резонансный член в (1.127) исключить нельзя. Таким образом, разложение как по амплитуде, так и по частоте необходимо, чтобы получить решения более высокого порядка.

Мы не рассмотрели двух вопросов, связанных с этим типом: разложения, а именно: устойчивость колебаний в присутствии возмущений и сходимость разложения к действительному решению. Первый вопрос может быть рассмотрен без труда, как только будет найдено решение. Если затем изучить линеаризованное уравнение, в окрестности данного решения и найти, что оно устойчиво, то это означает, что нелинейность не нарушает устойчивости в этой окрестности. Чтобы избежать решения нелинейного уравнения, а только исследовать устойчивость решения для маленьких нелинейных членов, можно исследовать различие для линейных и нелинейных уравнений. Для нелинейной пружины (1.123), подставляя вместо х и предполагая, что мало, отбрасывая члены порядка и выше, получаем

Рассматривая решения около линейного решения, берем из и получаем

где мы разложили по формуле двойного угла. Видим, что после элементарных преобразований переменных уравнение (1.131)

идентично уравнению Матье (1.118), и, таким образом, проблема устойчивости нелинейного уравнения сведена к известной диаграмме устойчивости решений уравнения Матье (см. рис. 1.8).