Фазовый анализ сепаратора частиц по скоростям.

Рассмотрим, используя понятия фазового пространства, принцип работы устройства, применяемого в оптике пучков высоких энергий, — установку для сепарации частиц различных скоростей (но различных масс), обладающих одинаковыми импульсами. Простейший сепаратор представляет собой канал, в котором имеются скрещенные под прямым углом электрическое и магнитное поля, так что для некоторой вполне определенной скорости электростатическая сила уравновешивает магнитную. Условимся, что электрическое поле направлено по оси х, а магнитное — по оси у, поскольку суммарная сила определяется как частицы будут находиться в равновесии, если их скорость равна

где скорость перпендикулярна к плоскости Хотя точные уравнения движения для достаточно сложны, для при можно получить простые выражения, где абсолютное значение (считая, что перпендикулярен Приращение силы можно записать

и соответствующее ускорение выражается в первом приближении как

Интегрируя один раз, получаем

интегрируя второй раз, получаем выражение для смещения и

Предположим, что скорость достаточно мала, так что и релятивистская масса не меняются. Кинг [12] нашел решение точного уравнения движения и его результат в первом порядке по А и совпадает с нашим. Следуя Кингу, будем называть частицы, которые не испытали отклонения, -частицами, а частицы, которые нужно отделить от -частиц и которые отклоняются при прохождении системы, назовем -частицами. Таким образом, для -частиц будем иметь простое преобразование для дрейфового пространства

где I — длина сепаратора, а На рис 3.22, а, б, в показано аксептансное фазовое пространство соответственно на входе, в центре и на выходе сепаратора. Расстояние между пластинами сепаратора пределы угловой расходимости х на входе сепаратора определяются условием, чтобы частицы, имеющие на входе заданное положение, на выходе сепаратора касались отклоняющих пластин. Для -частиц существует дополнительное смещение по зависящее от и определяемое выражениями (3.118) и (3.117). Можно также определить и приращение пути вдоль траектории так что приращение определяется эффектами второго порядка по любым другим координатам.

Рис. 3.22. Преобразование фазового пространства на входе (а), в центре (б) и на выходе (в) сепаратора по скоростям.

Таким образом, можно написать в матричном виде преобразование начальных координат в конечные в двух фазовых плоскостях

В матричные элементы включена циклотронная частота Уравнение (3.120) дает явное выражение матричных элементов матрицы связи, которая ранее приведена в общем виде (3.112). Однако обычно постоянная, а переменная величина и задача заключается в том, чтобы определить величину I, при которой достигается желаемое разделение и -частиц. Определим в фазовом пространстве вектор

характеризующий разделение и -частиц и явно зависящий от здесь На рис. 3.23, а показано разделение фазовых пространств, относящихся к -частицам (-пространство) и -частицам -пространство) на выходе сепаратора, если на входе эти пространства совпадали. Если мы хотим полностью отделить -пространство от -пространства, выбираем параметры сеператора так, чтобы вектор сдвинул -пространство относительно -пространства и чтобы они при этом не пересекались, как показано на рис. 3.23, б. Поскольку стенки занимают положение (пунктирная линия), половина -частиц теряется на стенках сепаратора; другая половина затем должна быть отделена таким преобразованием фазового пространства, чтобы физически разделить -частицы.

Рис. 3.23. Иллюстрация разделения фазового пространства частиц с различными скоростями.

Здесь мы не будем вдаваться в подробности этой процедуры. Важно отметить, что в трехмерном фазовом пространстве фазовая плоскость -частиц находится на расстоянии А и от -плоскости -частиц. Однако координата А и фазовая плоскость связаны, что приводит к смещению -координат на -плоскости по отношению к -плоскости. Связанными оказываются только две степени свободы, поскольку наш выбор системы координат и смещение могут в принципе быть обратимыми. Однако из-за физического присутствия самого сепаратора половина -частиц, соответствующая вектору сепарации на рис. 3.23, б, теряется на стенках сепаратора, что эквивалентно введению нелинейного элемента, который связывает эти две степени свободы. Для такого случая аксептанс канала сепаратора показан на рис. 3.24 в трех измерениях для всех значений от до где соответствует на рис. 3.23, б, т. е. в фазовом пространстве имеется полное разделение. Аксептанс усечен в направлении Если проектировать -пространство на

(кликните для просмотра скана)

-пространство, как показано на рис. 3.23, то все -пространство, выходящее за пунктирную линию, попадает на стенки.

Хотя мы уже иллюстрировали связь двух степеней свободы, поучительно проделать это еще раз, чтобы показать большие возможности метода фазовой плоскости. Введем дополнительное условие, что все частицы должны быть усвоены сепаратором, а фактическая гибель -частиц происходит в дополнительном устройстве. Это условие, которое предотвращает попадание -частиц на стенки сепаратора, введено нами с намерением гарантировать, что -частицы не будут отражаться в -пространство.

Рис. 3.26. Фазовая площадь, подходящая для инжекции: I — длина для полного разделения,

Заметим также, что теперь аксептанс не будет ограничиваться линией и подходящий аксептанс для -частиц зависит от вектора сепарации. Мы хотим теперь максимизировать аксептансное фазовое -пространство, которое также отделено от -пространства. В аксептансном фазовом пространстве такое разделение будет понятным, если преобразовать вектор сепарации к входному вектору так что перенос входного -пространства на приводит к эквивалентному источнику -частиц, такому, что оно преобразуется в действительное -пространство на выходе при свободном движении. Таким образом, матрица преобразования от есть матрица дрейфа длиной а матрица обратного преобразования — матрица дрейфа в противоположном направлении той же длины, но обратного знака:

На рис. 3.25 показан измененный -аксептанс вместе с эквивалентным источником для -аксептанса; заштрихованная площадь — общая площадь аксептанса и площадь разделения. Заметим, что

с увеличением разделения измененный аксептанс становится меньше, как уже говорилось выше, но имеет некоторое оптимальное значение. Заштрихованная площадь — это та площадь, в которой частицы могут быть инжектированы так, что и -частицы разделены и нет частиц, попадающих на стенки дефлектора. Следовательно, полная фазовая площадь, подходящая для инжекции, может быть легко найдена из рисунка и равна

Два члена в формуле (3.123) действуют противоположным образом. Из (3.123) видно, что разделение контуров увеличивается с увеличением но при этом происходит соответствующее уменьшение полного аксептанса. Зависимость А от нормированной длины I показана на рис. 3.26. Хотя наибольшая площадь получается при частичном разделении аксептанса и эквивалентного источника, площадь, подходящая для инжекции, не является простым параллелограммом и заполнить ее полностью трудно. Поэтому в реальной ситуации можно выбрать несколько меньшую площадь, которую и легче заполнить. Кинг [11] рассмотрел эти вопросы в приложения к реальным фокусирующим системам.