Оценка периода захвата с помощью фазовых представлений.

1. Статическое возмущение. В простейшем приближении для получения периода захвата частиц с неадиабатическим статическим возмущением предполагается, что фазовая плотность в ловушке равномерна и скорость инжекции равна скорости потерь. Это приближение, рассмотренное Робсоном и Тейлором, представлено здесь в несколько модифицированном виде. Сначала предположим, что

частицы распределены равномерно в тонком слое в пространстве скоростей в центре магнитной пробки и что входящий пучок может быть представлен с помощью равновесного распределения частиц в конусе потерь, т. е. в ловушку входит столько частиц, сколько ее покидает. Если мы нормируем число частиц в слое на единицу, то число частиц, входящих в конус потерь (в точности равное числу частиц, покидающих последний), назовем его нормированным числом частиц в пучке, равно —

аналогично число захваченных частиц

где угол между скоростью и магнитной осью, при котором частицы полностью отражены, т. е. из (5.92) имеем

где отношение максимума поля в пробке к полю в центральной точке между пробками. Пусть вероятность того, что частицы пучка будут отклоняться внутрь захватываемой области за один период колебания среднее время для частиц, остающихся в ловушке, тогда, приравнивая скорость инжекции к скорости потери, получаем уравнение

Подставляя из (5.180) и (5.181), после выполнения интегрирования в (5.181) получаем

Если предположить, что возмущение мало, для то левую часть выражения (5.183) можно проинтегрировать, считая, синус постоянным. Это дает

или, обозначив

получим

Обычно не сильно отличается от Можно перейти от к разбросу по обозначим приращение равно Заменяя в на

Рис. 5.26. Сравнение периодов захвата, полученных численным и статическим методами [50].

Отсюда непосредственно следует, что зависит только от пробочного отношения и не зависит от неадиабатичности ловушки. Таким образом, для данного пробочного отношения среднее время удержания обратно пропорционально степени захвата и для пучка на входе, имеющего однородную плотность по фактическая плотность захваченного пучка не зависит от эффективности захвата. Численное определение из расчета орбит, выполненное Робсоном и Тейлором, согласуется с результатом (5.185) и представлено на рис. 5.26. Сделанное выше исследование содержит ряд упрощающих предположений:

1) фазы равномерно распределены, что, вообще говоря, несправедливо для всех отрезков времени;

2) вводимый пучок заполняет аксептансный конус, что также несправедливо (на самом деле аксептансный конус никогда не заполняется полностью и плотность внутри ловушки может быть ниже);

3) потери приводят к стационарному равновесию, распределенному равномерно в конусе потерь. Чтобы получить фактическое распределение, надо решить уравнение диффузии. Этот более сложный подход развит Вингерсоном и др. (1964 г.).

Из этих трех основных упрощений третье, вообще говоря, несущественно, а второе может быть учтено для специфического входного пучка. От первого предположения о случайности фаз избавиться не так легко. Мы знаем из § 5.3, где рассматривался ВЧ нагрев,

что для продольного колебания, которое содержит только несколько вращательных периодов, фазы не будут случайными. Для более длинных продольных периодов предположение о случайности фаз корректно для коротких временнйх интервалов, а для более длинных временных интервалов может быть несправедливо. Появляющиеся периоды корреляций, вероятно, достаточно длинны, так что предположение о фазовой случайности в численных расчетах оправданно.

2. Возмущение, изменяющееся со временем. Для возмущения с несохраняющейся энергией фазовый аксептанс может непрерывно увеличиваться и, следовательно, равновесная плотность не существует. В § 5.4 уже разработана большая часть теории, необходимой для анализа этой ситуации. Вычислим распад числа частиц, захваченных в одном прохождении, и затем просуммируем по числу прохождений, для которых йнжекция продолжается.

Уравнение, описывающее распад для одного прохождения, имеет вид

где число удерживаемых частиц, остающихся от инжекции; — число частиц этого класса, теряющихся за одно прохождение. Тогда полное число захваченных частиц после прохождений с непрерывной инжекцией

где мы заменили сумму интегралом для больших Для того чтобы решить уравнение (5.186), необходимо получить выражение для которое можно написать приблизительно в виде

где доля фаз, которые принимает частица из в конуе потерь, а пределы интегрирования значения для которых существует. Пренебрегая вторым членом в (5.188), находим из соотношений

и

где максимум в конусе потерь. После нахождения из ограничений в (5.190) и разложения для малых получаем

Пооставляя (5.191) и (5.160) в (5.188), получаем

Для больших значений справедливы неравенства (5.168). Интеграл можно оценить, если пренебречь членами порядка в сравнении с единицей. Окончательный результат

подстановка (5.193) и (5.165) в (5. 186) дает

где определено выражением (5.169). Интегрируя (5.194), получаем число инжектированных за один период прохождения частиц, остающихся после добавочных прохождений резонансной области,

где число частиц, инжектированных за период одного прохождения. Для непрерывной инжекции полное число захваченных частиц из (5.187) равно

Для т. е. для случая инжекции частиц низких энергий и больших ВЧ полей, распад в течение одного прохождения медленный, а образование (для непрерывной инжекции) быстрое. Можно также вычислить время удержания частицы. Если измерять удержание половинным временем жизни частиц, инжектированных за одно прохождение, то из (5.194), полагая получаем Если время однократного прохождения есть то половинное время удержания

Для нашего примера Таким образом, получаем Итак, в среднем частицы удерживаются в течение более чем 106 прохождений. Из рис. 5.26 находим, что сост; и, следовательно, для -сантиметровых волн, которые мы рассматриваем, Это больше, чем время распада, полученное в эксперименте в отсутствие нагрева, и, следовательно, если вероятностные решения справедливы при больших периодах времени, можно ожидать медленного изменения времени жизни частицы вследствие применения непрерывного ВЧ нагрева.