Гамильтонов формализм с учетом пространственного заряда.

В § 1.3 показано, что в пределе равенства нулю корреляций между

отдельными частицами теорема Лиувилля может быть применена к шестимерному пространству, учитывающему силы, обусловленные пространственным зарядом. Однако потенциал, внутри которого движутся частицы, должен быть самосогласованным с движением. Самосогласованное движение обычно ведет к нестационарным потенциалам, которые в свою очередь ведут к зависящему от времени, гамильтониану. Хотя теорема Лиувилля и может быть применена в этих случаях, однако адиабатическая теория, развитая в гл. 2, применена быть не может и «нитеобразование» ведет к увеличению области эффективного фазового пространства. Нильсен и Сесслер [21] рассматривали простое приближение, которое ведет к стационарной форме потенциала и, таким образом, является полезным при; обсуждении эффектов в ускорителях, связанных с пространственным зарядом. Обсудим кратко это приближение и некоторые результаты, которые можно с его помощью получить.

Если предположить существование стационарного потенциала для сил, обусловленных пространственным зарядом, то гамильтониан в (4.89) примет вид

где потенциал пространственного заряда, который может адиабатически изменяться за много периодов колебаний. Уравнение (4.118) эквивалентно уравнению Нильсена и Сесслера с небольшими изменениями в обозначениях и выборе произвольных констант. Функция включает интеграл по распределению заряда вида

где заряд на единице длины и — коэффициент пропорциональности. В дополнение к (4.118) имеем уравнение Лиувилля. в двумерном фазовом пространстве, которое, описывая стационарную плотность в фазовом пространстве, удовлетворяет укороченной форме (1.86) без явной зависимости от времени:

Если плотность аппроксимируется однородным распределением внутри некоторой области с границей и нулем вне ее, то, предполагая можно записать

где а — постоянная плотность в пространстве и — ступенчатая функция. Покажем, что если , определенная из (4.121), удовлетворяет (4.120), то соответствует траектории постоянного гамильтониана

Дифференцируя (4.121) по и подставляя в первый и второй члены (4.120) соответственно, получаем

Применяя гамильтоновы уравнения движения, получаем

Уравнение (4.123) удовлетворяется тождественно для в силу -функции. На границе член в скобках должен быть равен нулю, в результате чего получаем (4.122). Уравнение (4.121) является поэтому стационарным распределением, хотя остается вычислить действительную функцию потенциала. Если пренебречь влиянием фазовых колебаний на величины, кроме плотность пространственного заряда можно связать с приближенным соотношением

радиус синхронной орбиты; номер гармоники высокочастотного поля. Подставляя (4.120) и (4.119) в (4.118) для получаем гамильтониан, описывающий граничную траекторию,

Так как изменяется медленно в силу того обстоятельства, что длина сгустка намного больше сечения вакуумной камеры, можно разложить около чтобы убрать ее из интеграла:

Оставляя только первый член и беря вместо К простую функцию, интеграл можно вычислить. Например, Нильсен и Сесслер выбрали заряд в виде однородного цилиндра между проводящими плоскостями, в результате чего получили

где половина расстояния до проводящих стенок вакуумной камеры; а — радиус заряженного цилиндра. Подставляя эти

приближения в (4.125), можно получить алгебраическую форму гамильтониана:

Отметим, что приближения, ведущие к этой алгебраической форме, и начальное предположение для согласуются только в пределе бесконечной длины пучка. Однако эти приближения, кажется, не вводят значительных модификаций эффекта для Выше энергии перехода, где (область отрицательной массы), возникают трудности при решении.

Используя не зависящий от времени гамильтониан вида (4.126), можно рассмотреть различные проблемы. Например, Нильсен и Сесслер [20] рассчитывали влияние пространственного заряда на продольное движение частиц в ускорителях. Однако таким образом не всегда удается рассмотреть коллективные явления, так как обычно они не соответствуют не зависящему от времени гамильтониану Несмотря на общую трудность при рассмотрении коллективных явлений, этим методом были изучены некоторые неустойчивости. Нильсен, Сесслер и Саймон [21] рассматривали продольные неустойчивости, а Нейл и другие [19] использовали этот метод для изучения неустойчивостей в присутствии других возмущающих сил. Большая часть этих явлений поддается также анализу без привлечения гамильтонового формализма.