Бетатронные колебания при наличии вынуждающей силы.

В § 1.4 уже рассмотрен случай гармонического осциллятора с вынуждающей силой. Мы нашли, что в случае равенства гармоники вынуждающей силы частоте свободных колебаний возникает резонансный рост амплитуды. Можно сделать такое же заключение относительно колебаний, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, однако этот случай более сложный: Рассмотрим уравнение Хилла с правой частью вида

Мы уже нашли нормированное решение однородного уравнения [из-уравнения (3.75)]

Следуя Куранту и Снайдеру [6], проведем замену переменной

что вместе с введенной ранее фазовой переменной

придает решению (4.37) вид гармонического осциллятора

с независимой переменной и зависимой переменной Подставляя (4.38) в (4.36) и используя дифференциальное уравнение для которое получено в § 3.3 [уравнение получаем

Так как обычно быстро изменяющаяся функция подставляем среднее значение в (4.40), которое тогда имеет решение

вместо у. Тогда соответствующее решение для включая дополнительное колебание амплитуды с периодом Если постоянна, то из (4.38), учитывая однородную форму (4.40), видим, что азимутальный угол, число бетатронных колебаний за один оборот; в этом случае среднее значение

Если теперь пренебречь тем фактом, что не изменяется гладко с изменением 0, а только усредняется до за период, то будет гладкой аппроксимацией для у. Ранее мы вывели уравнение (4.8) радиального движения в азимутально-симметричном синхротроне с возмущениями в магнитном поле и импульсе:

где в общем случае функция 0. Если синхротронные колебания намного медленнее бетатронных, то можно член в в правой части считать постоянным, и при отсутствии возмущения магнитного поля получаем, как и в (4.9), частное решение

которое является отклонением равновесной орбиты от главной. В гладком приближении для синхротрона со знакопеременными градиентами из (4.40) аналогично (4.42) имеем

вместо в (4.36) подставлено выражение Как в (4.43), разброс по импульсам смещает равновесную орбиту на величину, определяемую частным решением. Чтобы привести (4.44) к виду, имеющему размерность у, умножаем его на Так что, полагая и подставляя вместо его значение из (4.41), получаем в гладком приближении

Частное решение уравнения (4.45) теперь идентично (4.43), за исключением того, что и достаточно большое число. Так что амплитуда колебаний, возникающих из-за отклонения импульса импульса частицы, движущейся по равновесной орбите, значительно уменьшается.

Если член, описывающий возмущающую силу, периодичен с некоторым периодом нормированным по отношению к орбитальной частоте, то может быть разложена в ряд Фурье, как в § 1.4,

в результате чего дифференциальное уравнение в комплексной форме в гладком приближении имеет следующий вид:

где

Хотя ранее мы считали константой, введем этот член здесь, чтобы облегчить качественное обсуждение связанных синхротронных колебаний, о чем речь пойдет ниже. Из (1.104) решение для У имеет вид

где Для амплитуда колебаний в линейном приближении становится бесконечной. Для возмущений в магнитном поле, которые имеют место при частоте обращения Q = 1, резонанс наступает, когда целое число. Для машин со знакопеременными градиентами, в которых большое число, небольшие относительные изменения в приводят ее близко к некоторому целому числу, поэтому необходима большая точность при изготовлении, магнитов. Мы увидим в § 4.6, что для того, чтобы развить удобную схему для многооборотной инжекции, нужно намеренно ввести искажения магнитного поля. Наконец, следует отметить, что для синхротронных колебаний маленькое число, и, если строго постоянна, резонанс может иметь место, но только для Из-за связи между синхротронными и бетатронными колебаниями в линейном приближении нормальные колебания разделяются. Введение нелинейных эффектов снова вводит возможность резонансной связи, но не в форме (4.47). Однако для эффект сходен с (4.47), где мы видели, что резонанс очень слабый. Именно это свойство делает действительной адиабатическую теорию. В попытке объяснить нарушение адиабатической инвариантности в зеркальных машинах Чириков пришел к тем же выводам. Мы обсудим эту ситуацию в § 5.4.

В дополнение к решению в виде ряда Фурье (4.47) для вынужденных колебаний также возможно получить замкнутую форму решения. Эта форма понадобится в § 4.6, поэтому рассмотрим сейчас член, описывающий вынуждающую силу который будет позднее использован:

предполагаем возмущение в одной секции магнита, число секций со знакопеременными градиентами. Разложением в ряд Фурье можно получить решение, соответствующее (4.47),

где использовано решение в действительной форме. Замкнутая форма решения теперь получится, если воспользоваться теорией фильтров. Считаем решением во временной области -области), сконструированным из суммы преобразований в частотной области:

Соответствующее решение во временной области -области) является тогда интегралом от функций

где обратные преобразования Полагаем

что мы рассматриваем как фильтр, через который передается свободное колебание. Фурье-преобразование тогда запишется

и, сравнивая (4.49) и (4.50), получаем

Полученное решение должно иметь вид выражения свободных колебаний но с периодичностью по азимуту. Поэтому коэффициенты имеют вид

что после интегрирования дает

Сравнивая с членами получаем значение А, в результате чего для имеем

тогда полное периодическое решение имеет вид

где дается выражением (4.52). Общий характер амплитуда, осциллирующая с частотой но модулированная периодом так что орбита «уходит» от синусоиды вблизи возмущения магнитного поля.

Рис. 4.5. Возмущение равновесной орбиты.

Для ведет себя как импульсная функция, приводя к разрыву наклона орбиты. Для этого случая (4.54) принимает вид

где функция Дирака. Теперь можно выполнить интегрирование, после чего получаем

Эта функция имеет период Развернутая картина орбиты в окрестности возмущения конечной ширины лредставлена на рис. 4.5.