Динамика плазмы Власова.

В § 1.1 рассмотрены преимущества фазового представления динамики частиц. Мы нашли, что: а) фазовые траектории не пересекаются и, следовательно, описание движения частиц становится максимально простым; б) как следствие предыдущего, существует четкая граница области в фазовом пространстве, внутри которой происходит движение всех частиц; в) для систем, подчиняющихся гамильтоновым уравнениям, фазовое пространство ведет себя подобно несжимаемой жидкости; г) существуют часто дополнительные интегралы движения, которые позволяют сделать разделение степеней свободы, что еще более упрощает анализ; д) кроме того (см. § 1.3), движение системы взаимодействующих частиц можно рассматривать в некотором приближений

не в 6n-мерном фазовом пространстве, а в -мерном фазовом пространстве, в котором действующие на частицы силы представлены сглаженными самосогласованными полями.

Если силы, обусловленные пространственным зарядом, или другие силы взаимодействия между частицами отсутствуют, то использование свойств фазового рассмотрения совместно с позволяет получить аналитические решения, дающие по крайней мере приблизительное описание движения. В случае, когда в рассмотрение включены силы, действующие между частицами, получить аналитические решения не удается, за исключением некоторых частных случаев. Большинство задач как ускорительных, так и плазменных решаются только численным методом, причем расчеты можно сильно упростить, используя свойства Во многих задачах, имеющих ту или иную симметрию, может быть использовано свойство позволяющее перейти к описанию в двумерном фазовом пространстве и, таким образом, существенно упростить вычисления. Такие вычисления были проделаны Дори [18] для исследования явления неустойчивости типа отрицательной массы в ускорителях, а также Робертсом и Берком [49] для исследования нелинейного развития двухпучковой неустойчивости.

Рис. 5.3. Зависимость величины характеризующей отклонение от адиабатической инвариантности, от относительной скорости изменения магнитного поля Кривые соответственно асимптотические решения для медленных и быстрых изменений. Пунктирная линия получена с помощью численного интегрирования точного уравнения движения.

Теперь приведем наиболее важные результаты Робертса и Берка, полученные на основе численного расчета. Как и в большинстве примеров, исследованных в гл. 3 и 4, они рассматривали простое распределение плотности в фазовом пространстве, постоянное внутри некоторой ограниченной области и равное нулю вне ее. При анализе движения используются свойства т. е. определяется движение только граничных частиц и вычисляется плотность зарядов интегрированием постоянного фазового распределения по скоростям. Движение предполагается нерелятивистским, так что при отсутствии внешних магнитных полей уравнения движения для граничных частиц сводятся к

где потенциал определяется из уравнения Пуассона. При вычислении основное затруднение возникает из-за нитевидности границы, обусловленной нелинейностью сил. С этим мы уже сталкивались, рассматривая движение в негармонической потенциальной яме. При численном расчете это приводит либо к уменьшению точности при следовании по границе с фиксированным числом граничных точек, либо к росту времени счета, когда число граничных точек увеличивается в процессе вычислений. Первый метод применил Дори, а второй — Роберте и Берк. Если нитевидные части фазового распределения содержат малый заряд, то этими частями можно пренебречь (см. § 3.3 и 3.4). В случае же численных расчетов в процессе вычислений можно упростить границы. Это позволило получить результаты, вычисленные с большим числом периодов колебаний.

На рис. 5.4, а показан процесс развития двухпучковой неустойчивости, вычисленный Робертсом и Берком. Плазма (зачерненная область) выше горизонтальной линии перемещается вправо, а ниже горизонтальной линии — влево. По осям абсцисс и ординат отложены соответственно координаты и скорости. Периодические граничные условия наложены в точках с волновыми числами где скорость нормирована так, что на участках линейного роста скорости равны для обеих гармоник, где собственная частота колебаний плазмы. Шаг по времени равен 1/20 периода колебаний плазмы. Эволюция показана через интервалы в 50 шагов, начиная с 200-го шага в уже. нелинейной области. Самое интересное свойство нелинейного поведения неустойчивости в фазовом пространстве — это перемешивание двух потоков, сопровождающееся образованием «дырок» с нулевой плотностью внутри. Дырочная структура довольно устойчива во времени, образуя собой электростатическую волну большой амплитуды. Дырки притягиваются друг к другу, взаимодействуя как гравитационные тела. Механизм образования дырки, посредством которого стабилизируется двухпучковая неустойчивость, очевиден лишь тогда, когда движение описывается в фазовом пространстве.

Можно также исследовать динамику взаимодействия дырок, используя ту же вычислительную методику. Роберте и Берк предположили, что вначале две дырки погружены в плазму с прямоугольным распределением скоростей, причем дырки смещены в пространстве скоростей так, что если разделение центров дырок (средняя относительная скорость дырки) равно , то где ширина распределения скоростей. Дырки сделаны довольно большими, так что нормированный потенциал в центре дырки задается выражением

Следовательно, можно ожидать, что дырки будут сильно взаимодействовать. Эволюция фазовой жидкости изображена на рис. 5.4, б, начиная с 250-0 шага интегрирования до 1000-го шага, где длина шага задана выражением

(кликните для просмотра скана)

Выпуклости в распределении скорости плазмы вблизи дырок действуют как экранирующее облако, так что в начальной стадии на дырку не влияет пространственный заряд другой дырки и поэтому они не взаимодействуют. Когда две дырки совпадают в пространстве, они образуют большой положительный пространственный заряд, который втягивает электроны в область, разрушая прежде устойчивое распределение заряда. Дырки сливаются с отдельными струйками и фазовая жидкость перемешивается. Если бы средние относительные скорости дырок были выше при том же потенциале дырки, то дырки могли бы проходить друг через друга неповрежденными, испытывая при этом некоторое приливное искажение. Для облегчения вычислений было выбрано постоянное распределение фазовой плотности. В принципе можно использовать более плавные распределения, при этом нужно последовательно прослеживать движение границ совокупности вложенных друг в друга областей постоянной плотности. Взаимодействия, которые мы рассмотрели, приводят в итоге (вследствие нитевидности) к сглаженной функции распределения.

Статистические свойства бесстолкновительной фазовой жидкости исследовал Ланден-Белл [40], который нашел, что жидкость подчиняется новой статистике. Мы считали, что в случае, когда плотность элементов жидкости (для малых интервалов) равна двум значениям равновесное грубое распределение (большие интервалы) становится распределением Ферми

где определяются из полной энергии и фазовой площади, а Однако следует ожидать, что такое распределение стремится после достаточного времени взаимодействия к полностью нитевидной фазовой жидкости.