§ 3.3. Поперечные фазовые преобразования пучков

Введение.

Одним из важных приложений динамики частиц в фазовом пространстве является определение путей частиц при прохождении через фокусирующую систему и оптимизация этих путей; например, нас может интересовать прохождение частиц с выхода ускорителя до апертуры мишени или прохождение частиц от эмиттера рентгеновской трубки до коллектора. Эти приложения, вообще говоря, характеризуются наличием двух выделенных степеней свободы, двух направлений, перпендикулярных оси фокусирующей системы, относительные положения частиц вдоль оси не имеют значения. Обычно интерес представляет транспортировка максимального числа частиц с ограничением либо поперечных размеров пучка, либо углового расхождения для различных положений вдоль оси и получение оптимальной формы фазового пространства на выходе фокусирующей системы. Обсудим процедуру оптимизации более подробно.

Имеется обширная литература о согласовании в поперечном фазовом пространстве как в применении к оптике статических пучков, так и для динамических проблем ускорителей. Обсуждение теории ускорителей дано в гл. 4. Проблемы оптики пучков обсуждаются. главным образом в этом параграфе и в § 3.5 и 3.6. Для более полного изучения проблем оптики пучков высокой энергии рекомендуем читателю обратиться к обзорной статье [12] и к монографии [23].

Выбор переменных.

В качестве независимой переменной мы до сих пор брали время, а координату и ее канонический импульс — как зависимые переменные. Часто в качестве независимой переменной удобно брать не время, а расстояние вдоль центральной траектории или оси. В качестве независимой переменной естественно выбирать положение на оси, так как внешние силы обычно выражены

через расстояние вдоль оси. Так, линза установлена в пространстве так, что силы сразу же записываются в виде функции от независимой переменной s (измеренной вдоль оси), тогда как сила записывается в виде функции от только тогда, когда известна скорость. В случае вычисления возмущения орбиты, как, например, в ускорителях, скорость без труда можно определить вдоль равновесной орбиты, но так бывает не всегда. Однако даже в тех случаях, когда можно определить скорость равновесной частицы как, например, в ускорителях с жесткой фокусировкой, силы более естественно представить в системе, где в качестве независимой переменной выбрано расстояние. Мы уже показали, что если имеется функциональная зависимость то уравнения Гамильтона принимают вид

где новый гамильтониан системы. К больше не имеет размерности энергии, но, как мы показали, теорема Лиувилля применима к переменным Поэтому далее до конца параграфа будем использовать в качестве независимой переменной.

Можно также преобразовать зависимые переменные к новой группе канонических переменных, которые подчиняются уравнениям (3.45). В § 1.1 приведена формальная процедура преобразования от одной группы канонических переменных к другой. Для поперечных фазовых пространств пучков удобной группой переменных являются координата и угол расходимости

т. е. угол между лучом и осью. Площадь фазового пространства дается выражением

и при условии, что масса и скорость вдоль центральной траектории постоянны, две фазовые площади связаны постоянным фактором, поэтому новые переменные можно считать каноническими. Аналогично в гл. 4 мы увидим, что продольные колебания в линейном ускорителе наиболее удобно определяются по отклонению фазы частицы от положения устойчивой фазы

и отклонению энергии от энергии, соответствующей устойчивой фазе (полученной из первого порядка теории возмущений),

где а — частота высокочастотного ускоряющего поля. Таким образом, образуя область фазового пространства, как в (3.47), мы видим, что при условии постоянства также можно рассматривать в качестве канонических переменных.