Глава 2. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
§ 2.1. Адиабатическая инвариантность
Введение.
Если систему с одной степенью свободы можно записать в канонической форме, то в случае, когда гамильтониан постоянен, существует также и второй интеграл движения; это дает полное решение динамической задачи. Для осцилляторных систем запись уравнения в переменных угол — действие позволяет выявить эти два интеграла.
Однако для систем с более чем одной степенью свободы интеграл движения, связанный с интегральными инвариантами, существует. Дополнительный интеграл полезен при описании движения только тогда, когда имеется по крайней мере одна степень свободы, которая является разделимой, т. е. она зависит явно только от одной пространственной координаты. В этом случае движение, соответствующее этой степени свободы, можно отделить от остального движения и можно найти инвариантную фазовую площадь для колебаний в этой фазовой плоскости. Каждая новая координата, которую можно отделить, дает добавочный постоянный интеграл действия. Условие разделимости эквивалентно существованию такого преобразования системы координат, чтобы пространственные координаты гамильтониана стали циклическими (не содержались). Соответствующий канонический импульс постоянен и является переменной действия для этой степени свободы. В механике небесных тел интеграл движения такого вида называется также изолирующим интегралом, так как он отделяет одну степень свободы от других. Эти положения проиллюстрированы на примере в § 2.4.
Если гамильтониан системы с одной степенью свободы изменяется, то фазовые траектории не будут замкнутыми, т. е. интеграл действия не определяется. Однако уже показано, что фазовая площадь, первоначально ограниченная некоторым гамильтонианом, есть инвариант (это следствие теоремы Лиувилля). Так, пусть мы рассматриваем систему, которая в начале и в конце имеет постоянные гамильтонианы. Если мы покажем, что все частицы, движущиеся до изменения гамильтониана по данной кривой постоянного гамильтониана, после его изменения также лежат на кривой постоянного гамильтониана, то фазовая площадь, ограниченная кривой постоянного гамильтониана, должна быть равна первоначальной площади. Далее можно ожидать, что для медленных по сравнению с периодом
колебаний изменений параметров начальная фаза колебаний не может быть существенной при формировании конечного состояния частицы. Таким образом, можно ожидать, что для достаточно медленных изменений параметров интеграл действия, вычисленный по полному периоду, будет приближенным интегралом движения, который назовем адиабатическим интегралом. Доказательство адиабатического свойства интеграла действия для системы с одной степенью свободы дано ниже.
Прежде чем дать доказательство, следует отметить также, что адиабатическое постоянство фазовой площади, ограниченной гамильтонианом системы с одной степенью свободы, также имеет место и в случае систем со многими степенями свободы с сильно различающимися периодами колебаний. В таких системах исследование движения с самым быстрым периодомвозможно после рассмотрения всех других движений, соответствующих медленно изменяющимся частям гамильтониана для одной степени свободы, т. е. фактически после разделения гамильтониана по этой переменной.
Однако для многопериодных систем имеется дополнительная проблема резонансной связи колебаний с различными периодами, вследствие которой возможна неустойчивость колебаний по одной координате. В дальнейшем обсудим это при исследовании адиабатических интегралов движения как в ускорителях, так и в различных устройствах по удержанию плазмы.
Адиабатические интегралы для частицы, вращающейся в магнитном поле, будут рассмотрены только в гл. 5, так как некоторые аспекты этой задачи требуют специального подхода.
