Аналитическое рассмотрение двух предельных случаев.

В этом параграфе мы оптимизируем число частиц в двух предельных случаях. В первом случае бетатронные и синхротронные колебания считаются некоррелированными. Это соответствует случаю, когда продольное фазовое пространство (ошибка в фазе и импульсе) ведет к синхротронным колебаниям, а поперечное фазовое пространство (радиальный разброс и угловая расходимость) — к бетатронным колебаниям. Во втором случае поперечное фазовое нространство эмиттанса взято равным нулю, и все частицы инжектируются на главную орбиту. Продольное фазовое пространство, таким образом, ведет к полностью коррелированным бетатронным и синхротронным колебаниям. Мы предполагаем, что как продольная, так и поперечная плотность частиц в фазовом пространстве эмиттанса имеет вид

где константа различна для двух фазовых плоскостей. Это распределение плотности дает одинаковое число частиц на любой кривой постоянного гамильтониана. Если эмиттанс образуется за счет нитеобразования внутри инжектора линейного ускорителя, то кривые постоянного гамильтониана внутри инжектора имеют одинаковое число частиц. Для того чтобы это условие также выполнялось в синхротроне, все фазовые точки эмиттанса, которые соответствуют данному гамильтониану внутри инжектора, должны быть преобразованы так, чтобы они лежали на кривой постоянного гамильтониана внутри синхротрона. Если напряжение синхротрона изменяется, эмиттанс также должен быть изменен, чтобы поддерживать постоянной эту связь. Как только это сделано, константа выражения (4.141) неизбежно изменяется. В наших идеализированных примерах мы пренебрегаем изменением с изменением напряжения синхротрона. Природа этого приближения такова, что она ведет к переоценке оптимального напряжения и, таким образом, к переоценке Однако аналитическое рассмотрение все же позволяет определить верхнюю и нижнюю границы оптимального При численном определении оптимального напряжения (см. § 4.5) мы не будем делать предположение, что плотность не зависит от

Некоррелированные колебания. Интегрируя (4.144) по и используя (4.141), получаем нормированную плотность по отношению к как для синхротронных, так и для бетатронных колебаний:

Здесь — максимальная амплитуда синхротронных колебаний (возникающих от продольного фазового пространства) и у — максимальная амплитуда бетатронных колебаний (возникающих от поперечного фазового пространства). Для некоррелированных колебаний связаны соотношением

так как плотность эмиттанса, ведущая к синхротронным и бетатронным колебаниям, некоррелирована, подстановка (4.146) в (4.142) ведет к интегралу

где значения даны в (4.145). Выполняя интегрирование в (4.147) и подставляя полученное значение в (4.143), получаем

где для определенности мы предположили Максимизируя по отношению к мы находим, что для максимального

результат не изменяется при Значение полученное в этом приближении, слишком большое, но оно позволяет определить верхний предел напряжения инжекдии.

Полностью коррелированные колебания. Если как бетатронные, так и синхротронные колебания возникают от продольного фазового пространства, то каждая точка в этом фазовом пространстве однозначно определяет максимальное радиальное колебание Поэтому нет необходимости выполнять интегрирование, обозначенное в (4.142); следует найти прямо из распределения плотности частиц в фазовом пространстве и соотношения между Считаем, что плотность задается выражением (4.144), тогда для полного числа частиц в элементе площади дается выражение

где использована зависимость между и чтобы выразить через Амплитуда радиальных бетатронных колебаний пропорцио?

нальна величине импульса в момент инжекции и, таким образом, пропорциональна Поэтому можно записать амплитуду бетатронных колебаний как Тогда полная амплитуда колебаний

Полное число частиц внутри любого может быть найдено интегрированием (4.150), где верхний предел интегрирования находится из (4.150) с с ограничением, что не может превышать Мы получаем

Выполняя интегрирование, находим, что существенно постоянна внутри области и резко спадает вне этой области. Так как выбранное распределение плотности завышает значение действительно достигает своего максимума в

Это нижний предел который выполняется при полной корреляции между бетатронными и синхротронными колебаниями. В этом примере максимальная амплитуда бетатронных колебаний равна