Приближенное определение движения частиц в ловушке с магнитными пробками.

Мы уже видели в § 1.1 и 1.2, что применение интегралов действия может сильно облегчить решение данной динамической задачи. Эти соображения использованы при описании адиабатической инвариантности в гл. 2, а также в §5.1, 5.2 и 5.3. В § 5.2 показано, что движение частицы в поле диполя может быть сведено к квадратурам, если использовать биполярные координаты и соответствующие переменные действия, хотя эти интегралы могут <быть вычислены только приближенными методами. Этот же метод использован для получения приближенного решения уравнения движения частиц в симметричной ловушке с магнитными пробками. Однако здесь не существует такой системы координат, в которой движение естественным образом разделяется на вращательное движение и движение ведущего центра. Но поскольку силовые линии в большинстве ловушек такого типа представляют собой приблизительно прямые линии, может быть использована теория возмущения для получения приближенного решения. В вычислении используется метод усреднения (см. § 1.4). Переменные действия аналогичны адиабатическим интегралам (см. § 5.1), однако выбор криволинейной системы координат позволяет непосредственно вычислить члены первого порядка, как в § 5.2. Здесь мы следуем работе [35], в которой были приведены вычисления для аксиально-симметричной ловушки с магнитными пробками, включая и вычисление равновесной плотности распределения [36]. Однако следует указать, что для асимметричных полей нельзя найти систему координат, в которой бы переменные разделялись. К этому случаю наиболее подходит общая адиабатическая теория.

Предположим, что поле имеет вид

параметр разложения, причем Как и в 5.2, силовые линии симметричны и не содержат вихрей.

Следовательно, они могут быть получены из векторного или скалярного потенциала:

причем в цилиндрических координатах существует только компонента векторного потенциала

Рис. 5.9. (см. скан) Траектория частицы в квадрупольном магнитном поле (а) и соответствующие изменения магнитного момента и магнитного поля (б) [8]: — траектория частицы;--магнитные силовые линии; -----линии постоянной напряженности поля; — — граничные кривые.

Подставляя (5.102) в (5.103), получаем

Гамильтониан частицы, движущейся в таком консервативном поле, согласно (5.85) имеет вид

Как в § 5.2, разобьем движение на движение около ведущего центра и движение самого ведущего центра. В § 5.2 использована двумерная система, так как предполагалось, что азимутальные дрейфы отсутствуют.

Рис. 5.10. Натуральная система координат для зеркального магнитного поля.

Рис. 5.11. Диаграмма для построения канонической системы координат, соответствующей адиабатически разделенным степеням свободы.

Используя теорию возмущения, можно включить в рассмотрение третью координату, что здесь и будет сделано. Как и в случае поля диполя - натуральной системой координат (рис. 5.10) является система, в которой вдоль линии постоянного потенциала, и вдоль силовой линии, Это — явное выражений для через переменные соответствующие (5.96) и (5.97). По аналогии с гамильтонианом (5.63) гамильтониан в новой системе координат имеет вид

где - функции Лакина вычислил эти функции, но мы не будем повторять эти вычисления.

Приступим теперь к преобразованию координат к соответствующему набору переменных угол—действие. На основе § 5.1 координаты являются адиабатически разделимыми если движение можно разделить на вращение, движение вдоль силовой линии, которое также является параллельной компонентой движения ведущего центра, и дрейф ведущего центра, перпендикулярный

к силовой линии. Координата подходит для получения продольного инварианта, однако необходимо еще преобразовать. Необходимое преобразование можно сконструировать, пользуясь рис. 5.11. Перейдем непосредственно к переменным угол—действие, используя процедуру разделения на вращательное и дрейфовое движение. Если угловой момент вращения равен а угловой момент дрейфа то радиусы вращательного движения и движения ведущего центра равны соответственно

и

где соответственно циклотронная частота и угловая частота дрейфа. Введем канонические угловые переменные и разложив геометрические соотношения в точке так что определяется по формуле косинусов что дает

Аналогично используя геометрические соотношения, можно связать другие переменные. Однако вместо этого введем приближение, сделанное Зейделем [53]: пусть т. е. магнитное поле очень сильное, так что частицы спирально закручиваются вокруг силовой линии. Зейдель использует это приближение при рассмотрении ВЧ-циклотронного резонансного нагрева, описываемого в § 5.4. Лакина использовал более полный формализм для получения совокупности интегралов уравнений движения, не делая ограничений обцчными условиями адиабатичности. Однако в теории возмущений, которая необходима для получения численного результата, нужно обязательно использовать подобное условие.

В приближении Зейделя имеем или в обозначениях Зейделя

где можно считать нормированными угловыми моментами или нормированными радиусами соответственно; соответствующим образом нормированный радиус-вектор. Отметим, что в пределе при также но нормированные значения все еще существуют. Используя то же самое приближение можно получить преобразования другой поперечной координаты

для соответствующего момента имеем Это соотношение следует непосредственно из теоремы механики: полный угловой

момент равен сумме углового момента центра масс и углового момента относительно центра масс [26], и так как в нашей нормированной форме то приближенное преобразование нормированное имеет вид

также легко найти, если считать ларморовский радиус малым. Из рис. 5.11 видно, что где скорость вращения, или, выражая через угловой момент, имеем используя (5.107) и нормировку, получаем

Приведенные выше уравнения дают преобразование к переменным угол — действие в перпендикулярной плоскости. Эти преобразования можно получить из теории преобразования с учетом производящей функции, введенной Зейделем, Уравнения (5.109) можно проверить, подставив в преобразование (1.34).

Можно также получить интеграл действия для продольного движения, однако прежде покажем, что теория возмущений применима для описания движения в слабом поле ловушки. В предположении однородности поля гамильтониан (5.106) сильно упрощается, поскольку Поэтому для нородного поля

Теперь пронормируем квадраты всех величин на напряженности магнитного поля, т. е. Тогда гамильтониан для однородного поля примет вид

Подставляя преобразования (5.109), получаем гамильтониан в первом порядке по как функцию нормированных поперечных переменных угол—действие и

В предположении, что получаем Мы получили гамильтониан частицы спирально закручивающейся вокруг силовой линии без учета дрейфа, перпендикулярного к силовым линиям. С учетом кривизны поля гамильтониан, вычисленный Лакина [35] в первом порядке по имеет вид

где усредняется по вращательному движению.

Теперь получим интеграл действия для продольного движения, используя обычную процедуру интегрирования импульса по полному периоду продольного колебания, что в нормированном виде дает рщёц. Подставляя из (5.112), имеем

Если расстояние между точками поворота равно то приближенно изменение магнитного поля (5.102) выразим как

которое справедливо для малых отклонений Далее имеем и для максимального отклонения так что (5.113). приближенно можно записать как

Здесь мы положили в согласии с приближением (5.114). После интегрирования (5.115) получим как функцию

Полное преобразование получено из производящей функции которая является функцией старых координат и новых импульсов.

Так как старые и новые импульсы идентичны, возьмем производящую функцию в виде

откуда новые угловые переменные запишутся как

Преобразованный гамильтониан представляет собой функцию переменных действия плюс осцилляторный член, которым можно пренебречь. Зейдель вычислил этот гамильтониан, получив выражение

где

Частоты могут быть получены уравнений Гамильтона Импульсы должны быть вычислены из своих определяющих уравнений и соответствующих разложений поля. Взяв соответствующие производные, получим соотношения

определяющие соответственно циклотронную частоту, частоту азимутального дрейфа и частоту продольного колебания. Составляющие энергии можно также вычислить как функцию инвариантных импульсов; в средней плоскости имеем

Уравнения (5.116), (5.117) и (5.118) выражают начальные условия через инварианты. Они будут использованы в § 5.4 для сравнения результатов, полученных аналитически, с результатами, полученными численными методами.

Дальнейшие вычисления приведены в работе Лакина [35]. Для малых отклонений продольного движения от средней плоскости этот анализ дает решения, независимые от адиабатических свойств интегралов действия.