Численные оценки пределов адиабатического поведения.

Существование интегралов движения может быть выведено из численных расчетов сечений плоскости фазового пространства, как мы уже делали в § 2.4. Если частицы лежат на фиксированной кривой в

фазовой плоскости независимо от того, в какой момент времени делается сечение, то существует изолирующий интеграл, который разделяет движение по двум степеням свободы. Таким изолирующим интегралом является, например, обобщенный магнитный момент в симметричном магнитном поле ловушки с магнитными пробками. Это представление использовано в § 5.2 для получения адиабатического инварианта в поле диполя. Наряду с этим можно использовать другие системы координат для получения аналогичных данных.

Рис. 5.16. Устойчивые и неустойчивые начальные условия.

Гаррен и др. [25] получили сечения средней плоскости ловушки с магнитными пробками на полярной диаграмме где угол между вектором скорости и силовой линией, угол, измеряемый в плоскости вращения азимутально к силовой линии, причем на перпендикуляре к плоскости, проходящей через силовую линию и ось. Следует отметить, что в средней плоскости Результаты численных расчетов Гаррена и др. показаны на рис. 5.15 для частиц, инжектированных с фиксированной энергией, но различными Величины энергии и магнитного поля выбраны так, что диаметры орбит составляют 1/10 расстояния между магнитными пробками. Как и в предыдущих численных расчетах такого типа (см. § 2.4), видно, что орбиты отчетливо разделяются на два типа: одни лежат на фиксированных кривых, а другие беспорядочно пересекаются (затемненная область). Конус адиабатических потерь лежит при 55° (заметим, что центр диаграммы взят при однако частицы рассеиваются неадиабатически в конус потерь приблизительно при 65°, который поэтому является эффективным конусом потерь. Имеются два типа устойчивых орбит, представленных кривыми или кривыми Первый тип охватывает фиксированные точки, в которых частица имеет целое число циклотронных периодов для каждого продольного колебания.

Для дипольной конфигурации Драгт сделал аналогичный расчет; он получил переход от плавных кривых на поверхности сечения (как показано на рис. 5.7) к случаю беспорядочных пересечений поверхности. При этом в качестве параметров он брал и нормированную энергию Результаты показаны на рис. 5.16. Для колебаний около минимального потенциала где взятый из рис. 5.5, есть радиус силовой линии, около которой частица движется по круговой траектории радиуса Устойчивые точки (кружки) отделены от неустойчивых (треугольники) четкой прямой линией, заданной приближенно уравнением Как и ожидалось, область устойчивости увеличивается с ростом отношения так как длина, на которой поле изменяется существенно.

Рис. 5.17. Адиабатические кривые и пересечения траекторий ведущего центра со средней плоскостью; зеркальное квадрупольиое поле: не сохраняется, (относится к точкам, обозначенным знаком

Для асимметричных удерживающих полей первой нарушается адиабатическая инвариантность продольного инварианта Это нарушение также было исследовано численными методами. Кроме вычисления дрейфовых поверхностей, предполагая, что константа, Сиамбис [54] вычислил и продольный инвариант вдоль действительного пути частицы, включая поперечные дрейфовые движения. Он исследовал постоянство относительно нормированного циклотронного радиуса (здесь расстояние между квадрупольными стержнями). Он нашел, как и следовало ожидать, что для малых токов в квадруполях сохраняется даже для большого циклотронного радиуса и приблизительно равен значению вычисленному вдоль линии поля. В этой ситуации, соответствующей рис. 5.13 и 5.14 силовые линии: а) достаточно прямолинейны и б) не очень быстро меняются от одной азимутальной плоскости к другой. Поэтому из следует, что дрейф медленный, а если учесть еще и то продольное движение в азимутальной плоскости, вращающейся с дрейфовой скоростью

для среднего радиуса, почти идентично движению вдоль силовой линии. Однако для больших квадрупольных токов при больше не будет интегралом движения. Это и следовало ожидать, так как большие токи приводят как к сильной кривизне силовых линий (большому дрейфу), так и к быстрому их изменению от одной азимутальной плоскости к другой. На рис. 5.17 показаны вычисленные Сиамбисом кривые для полей большой кривизны. Дрейфовые поверхности показаны в поперечном сечении средней плоскости. Для вычисленного вдоль силовой линии, численные значения для рисунке обозначены кружками) и (крестики) найдены с учетом дрейфового движения. В первом случае равно постоянной величине и отличается только немного от величины, вычисленной на линии поля. Во втором случае не является константой и поэтому точки, отмеченные крестиками, больше не располагаются на одной поверхности потока.

Относительные значения ларморовского радиуса при которых адиабатическая теория несправедлива, находятся в количественном согласии со значениями, которые можно ожидать для трех рассмотренных конфигураций. Для двух симметричных систем отношение ларморовского радиуса к характерной длине, на которой поле заметно меняется, поуги идентично нарушению адиабатической теории. При магнитный момент в симметричной ловушке с магнитными пробками перестает быть постоянным для Полагая для симметричного диполя, найдем из рис. 5.15 почти такой же результат: переход имеет место при Для асимметричного удерживающего поля найдем, что для при переход к несохраняющемуся имеет место при много меньшем отношении