Свободные колебания в синхротронах со знакопеременными градиентами.

Мы видели, что колебания в аксиально-симметричном магнитном поле описываются уравнением

где или для радиальных колебаний или вертикальных соответственно; азимутальный угол. Теперь рассмотрим случай периодически изменяющегося тогда линеаризованное уравнение движения переходит в уравнение Хилла

где Это уравнение исследовано достаточно подробно в § 1.4 и 3.3 при описании периодических систем общего типа.

Рис. 4.3. Диаграмма устойчивости типа «галстук» для синхротрона со знакопеременными градиентами (Курант, Ливингстон, Снайдер, 1952 г.).

Рассмотрим теперь случай, когда резко изменяется между значениями Решение в каждой области дает матрицу преобразования за период; например, для вертикальных колебаний

что аналогично основному элементу фокусирующей системы [см. (3.77)], за исключением того, что теперь у нас -система, т. е. система, которая из-за переменного знака магнитного поля обладает фокусирующими и дефокусирующими областями, области же с нулевым магнитным полем отсутствуют. Преобразование за период дается выражением

как в (3.80), с устойчивыми колебаниями, если след матрицы 11 а где а находится из (4.24) и имеет следующий вид:

и аналогично для радиальных колебаний, только нужно заменить на Если число изменений знака магнитного поля за один оборот), то область устойчивости представлена на рис. 4.3 диаграммой типа галстук, полученной Курантом, Ливингстоном и Снайдером [5]; область устойчивости заштрихована.

Мы уже видели в (3.75), что общее решение уравнения Хилла может быть записано в виде

с

где уже введено как число колебаний за полный оборот, а константы, зависящие от начальных условий. Как показано в § 3.3, - пропорциональна области фазового пространства, ограниченной колебательным движением. Определяя константу движения, можно найти, что произойдет на фазовой плоскости с эллипсом, образованным из всех начальных условий, в любой точке вдоль траектории; ясно, что такая константа может быть записана в следующем виде:

Из общего решения (4.27), возвращаясь к обозначениям § 3.3, получаем

Дифференцированием по можно также найти из (4.27)

Решая относительно подставляя вместо выражение (4.27) и вместо а также выполняя дифференцирование получаем

Складывая (4.31) и (4.30), получаем точный инвариант

Можно также исключить и записать инвариант (4.32) через параметр а. Из рис. 3.5, замечая, что получаем

или, выполняя дифференцирование,

Рис. 4.4. Фазовые преобразования в синхротроне со знакопеременными градиентами.

После подстановки (4.33) в (4.32а) инвариант принимает следующий вид:

Из (4.326) можно определить условия, при которых у достигает максимального значения, для этого отметим, что при что дает

Используя соотношение имеем [так как из (4.27) следует, что где ], так что

Это согласуется с тем фактом, что функция амплитуды. Таким образом, частица с данным значением лежит на эллипсе, ориентация которого зависит от Площадь эллипса, равная константа движения. При максимальных и минимальных значениях и эллипс правильный. Серия таких эллипсов уже построена при рассмотрении квадрупольной системы FODO (см. рис. 3.12). Для системы с переменным показателем магнитного поля, которую сейчас рассматриваем, эквивалентная группа диаграмм на фазовой

плоскости представлена на рис. 4.4. Для определенности считаем Для того, чтобы эмиттанс согласовывался с аксептансом ускорителя, эмиттанс в зависимости от положения инжекции должен быть преобразован к различным формам. Для адиабатической константы получаем

тогда при медленном изменении массы из (4.34) имеем выражение

которое дает адиабатическое затухание амплитуды свободных колебаний в циклическом ускорителе.