Обобщенные координаты и равновесное состояние.

Теперь обобщим биполярные координаты так, чтобы система отсчета была, применима к произвольным конфигурациям поля. Биполярная

координата дает линии постоянного скалярного потенциала, а также определяет положение вдоль силовой линии, которое мы обозначим через Координата а постоянна вдоль силовой линии и поэтому определяет положение, перпендикулярное к силовой линии, в направлении изменения напряженности поля. Соответствующую обобщенную координату обозначим а. Третья координата для поля диполя — азимутальный угол который вследствие симметрии не влияет на уравнения движения. Обобщением последней координаты на случай произвольного поля будет координата перпендикулярная к силовой линии в направлении постоянства поля. Определим масштаб длин для такого выбора координат, полагая векторный потенциал равным

тогда магнитное поле задается выражением Магнитный поток через поверхность определяется соотношением или в виде двойного интеграла

т. е. элемент площади, перпендикулярный к направлению потока, а коэффициенты таковы, что площадь пересекает единицу потока. Для симметричного диполя имеем

Рис. 5.7. Совпадение аналитических (0) и численных расчетов поверхности раздела.

На удобство системы координат впервые указал Град. Нортроп и Теллер [44] использовали эту систему координат для описания движения в случае асимметричного диполя. Однако они не использовали обобщенные канонические переменные, но оставили уравнение ведущего центра основанным на инвариантности а не же отличается от [эта разница вычислена в (5.67)]. Систему координат можно использовать наряду с каноническими переменными при вычислении в следующем, более высоком порядке (как в § 5.1). Систему координат широко используют для вычисления адиабатических инвариантов низких порядков (см., например, [42]) и в особенности для тороидальных систем [28].

Применяя обобщенную систему координат, можно вычислить очень полезную величину — среднюю по продольному периоду

скорость дрейфа. Основываясь на несколько отличном от описанного здесь методе вычисления адиабатических инвариантов, Нортроп и Теллер получили для системы с гамильтонианом не зависящим от времени, что

где получены из канонических уравнений

Здесь продольный период, который равен, как это следует из теории Гамильтона, описанной в § 1.1,

После подстановки (5.73) в (5.72) имеем

Используя правила дифференцирования неявной функции

и выражение (5.74), запишем (5.75) в виде

Азимутальный дрейф в первом порядке для осесимметричного диполя и общий дрейф для поля без азимутальной симметрии дает (5.75) или (5.76). В этом приближении метод усреднения и последовательного вычисления адиабатических инвариантов позволяет разложить движение, включающее три связанные степени свободы, на три независимых движения с различными временными шкалами для каждой степени свободы.

Адиабатические инварианты и обобщенные координаты также полезны при описании равновесного распределения плотности. Известно, что уравнение Лиувилля удовлетворяется на траектории частицы и поэтому должно быть функцией интегралов движения. Предполагая, что частицы невзаимодействующие, можно получить уравнение Лиувилля для шестимерной функции распределения, которая выражается через интегралы движения. Положим, что эти интегралы — адиабатические инварианты, так что

тогда на основании уравнения Лиувилля имеем в стационарном случае

где производные инвариантов по времени автоматически исчезают. Подставляя из уравнений Гамильтона, получаем для стационарного состояния

Уравнение (5.79) означает, что функция распределения постоянна на поверхности постоянных а Так как квазиканонические координаты [см. (5.73)], можно заменить в (5.78) координатами тогда

и аналогично в (5.79) заменяем

Нортроп и Теллер использовали эти соотношения, чтобы показать, что линии постоянного В на инвариантной поверхности являются также линиями постоянной плотности частиц Действительно, заметим, что вдоль силовой линии

где не зависит от положения; можно вычислить, интегрируя между точками отражения:

Если элемент объема в трубке потока, то

Используя это соотношение, перепишем (5.82)

Слева в уравнении — полное число частиц в элементе объема с данным магнитным моментом и данной энергией т. е. Тогда подставляя этот результат в (5.81), получаем

Так как число частиц внутри элемента объема при постоянной энергии число частиц при постоянном то величины связаны соотношением После лодстановки значения из (5.74) получаем

Так как постоянна на инвариантной поверхности, то является константой, умноженной на но поскольку постоянно при постоянном В, то константа на поверхности постоянного В, что и требовалось доказать.

Интересные приложения взаимозависимости между интегралами движения и равновесными поверхностями можно найти в работе [28], в которой решена обратная задача: показано, что, задавая равновесное состояние, можно найти интегралы движения во всех порядках.