§ 8. Метод сечений. Вектор напряжения

В недеформированном теле расположение частиц соответствует состоянию его теплового равновесия. Если выделить из этого тела какой-нибудь объем, то все силы, действующие на него со стороны других частей, будут уравновешенными. Под действием же внешних сил расположение частиц в теле меняется, т. е. тело деформируется, в результате чего возникают внутренние силы. Для определения последних применяется так называемый метод сечений. Пусть имеем деформируемое тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил. Мысленно рассечем его некоторой поверхностью на две части. Отбросив одну часть, заменим ее действие на оставленную распределенными по поверхности сечения внутренними силами связи между частицами тела, лежащими по обе стороны сечения (рис. 3). Теперь силы, действующие в точках поверхности сечения, могут быть отнесены к внешним поверхностным силам. Для равновесия оставшейся части эти силы должны быть выбраны так, чтобы с заданными силами, действующими на рассматриваемую часть тела, они составляли уравновешенную систему сил. Обозначим через соответственно главный вектор и главный момент сил, распределенных по элементу поверхности сечения с нормалью в точке Направление нормали к элементу поверхности будем считать положительным, если она направлена от оставшейся части к отброшенной.

Полагая, что в рассмотренной нами модели сплошной среды между ее частицами осуществляется только центральное воздействие, имеем

Вектор называется вектором напряжения на элементе поверхности с нормалью в точке

При рассмотрении модели среды, введенной Фойгтом в 1887 г., предполагается, что между ее частицами, помимо обычного центрального воздействия, осуществляется еще и вращательное. Тогда, кроме вектора напряжения будет существовать и вектор моментного напряжения равный

На последней модели мы не останавливаемся.

Размерность вектора напряжения, как это следует из его определения, будет .

Вектор напряжения может быть разложен на две составляющие:

1, Нормальная составляющая, направленная по нормали называется нормальным напряжением и обозначается через

2. Касательная составляющая, направленная по касательной к кривой пересечения плоскости, проходящей через с поверхностью сечения, называется касательным напряжением и обозначается через (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

Нормальное напряжение принято считать положительным, если его направление совпадает с направлением внешней нормали к поверхности сечения в данной точке, и отрицательным — в противном случае.

Если направление вектора напряжения совпадает с нормалью к поверхности сечения в данной точке, то

В этом случае нормальное напряжение называется главным нормальным напряжением, а площадка, на которой действует это напряжение, — главной площадкой в данной точке.

Напряжение, отнесенное к поверхности элемента с нормалью в недеформированном состоянии называется условным напряжением, а напряжение, отнесенное к поверхности элемента с нормалью в деформированном состоянии — истинным напряжением.

Пусть вектор напряжения характеризует действие тела А на тело В, передающееся через элемент поверхности сечения с нормалью а напряжение характеризует действие тела В на тело А, передающееся через тот же элемент поверхности (рис. 5).

На основании третьего закона Ньютона имеет место равенство