§ 54. Бесконечная пластинка с эллиптическим отверстием

Методом конформного отображения решим задачу о ненагруженном эллиптическом отверстии в бесконечной пластинке, подверженной действию равных главных нормальных напряжений на бесконечности.

Поскольку величина не влияет на напряженное состояние, примем ее равной нулю; из формул (6.107) найдем

С помощью формулы

внешность эллипса с центром в точке полуосями конформно отображается на единичный круг

Учитывая, что отверстие не нагружено, из соотношений (6.104) и (6.105) с учетом (6.172) найдем

Отсюда в силу (6.117) и формулы (6.173) будем иметь отвечающие (6.174) равенства

где — функции, голоморфные внутри круга.

Подставив функции в (6.124), убедимся, что функции должны удовлетворять тому же уравнению, которому удовлетворяют функции если правую часть заменить

Принимая во внимание, что для данной задачи и можно принять после некоторых преобразований будем иметь

В функциональном уравнении (6.161) и в соотношении (6.162) вместо функций (при условии введем функции ,

Подставляя (6.173) в уравнение (6.175), найдем

Функции

являются граничными значениями регулярных вне окружности у функций

которые обращаются в нуль на бесконечности.

Функция — имеет полюсы

Учитывая все вышесказанное, а также то, что точка лежит внутри круга из (6.177), на основании свойств интеграла Коши и теоремы о вычетах, получим

Тогда

Подставляя (6.174), (6.175) и производную функции (6.179) в (6.176), найдем

Поскольку

и в (6.180) функции являются граничными значениями функций

регулярных внутри граничным значением функции регулярной вне

Следовательно, учитывая, что точка лежит внутри круга на основании формулы Коши из (6.180) найдем

Соотношения (6.179) и (6.181) нетрудно выразить через основную переменную подставив в них вместо определенную из (6.173) обратную функцию

(перед радикалом взят знак так как точка отвечающая находится вне эллипса); при этом компоненты вектора перемещения и тензора напряжений могут быть легко найдены из формул (6.121) и (6.123).