§ 76. Элементарные решения Буссинеска первого и второго рода

В этом параграфе из решения Кельвина мы получим решение для случая сосредоточенной силы приложенной в начале координат к твердому телу и действующей в направлении оси

Возьмем сколь угодно малую окрестность точки, приложения силы (простейшей особой точки), ограниченную плоскостями и положим, что тогда из (9.7) и (9.8) найдем

Подставля (9.19) в (9.4), получим

Так как последние уравнения можно записать в виде

Эти уравнения будут удовлетворены, если

откуда

Подставив эти выражения в формулу (9.1), найдем

Формула (9.20), полученная из решения Кельвина как частный пример, впервые выведена Буссинеском и названа им элементарным решением первого рода.

На основании (9.20) из формул закона Гука для шести компонентов тензора напряжений имеем следующие соотношения:

Элементарным решением второго рода называется решение (9.17), в котором гармоническая функция равна

Тогда

На основании формул (9.18) найдем

Компоненты вектора напряжения, действующего на площадку, проходящую через данную точку, перпендикулярную к радиусу-вектору на основании формул (2.22) с учетом (9.23), а также с учетом того, что будут

Опишем из особой точки — начала координат — сферу радиуса и рассмотрим ее часть, расположенную в области На основании формул (9.24) без вычислений можно утверждать, что главный момент всех сил, действующих на поверхности полусферы, и проекции главного вектора этих сил на оси равны нулю, а проекция главного вектора на ось равна

Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на поверхности полусферы, направлена вдоль оси и имеет величину

Таким образом, начало координат представляет собой простой тип изолированной особой точки, в которой приложена сосредоточенная сила, направленная вдоль оси и имеющая величину