§ 86. Уравнение изгиба пластинки в полярных координатах

При изучении изгиба круглой пластинки выгодно использовать полярную систему координат . В этой системе координат «а основании формул, выражающих зависимость между полярными и декартовыми координатами

гармонический оператор принимает вид

Следовательно, уравнение изгиба пластинки (11.11) в полярной системе координат запишется в виде

Если нагрузка распределена симметрично относительно центра пластинки, то прогиб будет зависеть только от полярного радиуса. В этом случае уравнение (11.22) примет вид

Обозначим действующие в сечениях с нормалями изгибающие моменты соответственно через а крутящий момент через Эти моменты, как обычно, отнесены к единице длины.

Предположим, что ось совпадает с полярным радиусом тогда моменты будут иметь те же самые значения, что и моменты (рис. 54). Таким образом, в формулах (11.6), переходя с помощью (11.20) от декартовых координат к полярным и принимая окончательно будем иметь

Аналогичным приемом из (11.10) получим формулы для поперечных сил

Если край круглой пластинки радиуса а защемлен, то

если свободно оперт, то

если свободен от нагрузки, то

Рис. 54

Общее решение уравнения (11.22)

где какое-либо частное решение уравнения (11.22); -общее решение однородного уравнения

Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде

Решение не зависящее от угла представляет симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение (11.29), тогда

где Общее решение этого уравнения при таково:

при

при

Постоянные интегрирования определяются из условий закрепления края пластинки.