§ 86. Уравнение изгиба пластинки в полярных координатах
При изучении изгиба круглой пластинки выгодно использовать полярную систему координат 
. В этой системе координат «а основании формул, выражающих зависимость между полярными и декартовыми координатами
гармонический оператор принимает вид
Следовательно, уравнение изгиба пластинки (11.11) в полярной системе координат запишется в виде
Если нагрузка 
распределена симметрично относительно центра пластинки, то прогиб 
будет зависеть только от полярного радиуса. В этом случае уравнение (11.22) примет вид
Обозначим действующие в сечениях с нормалями 
изгибающие моменты соответственно через 
а крутящий момент через 
Эти моменты, как обычно, отнесены к единице длины.
Предположим, что ось 
совпадает с полярным радиусом 
тогда моменты 
будут иметь те же самые значения, что и моменты 
(рис. 54). Таким образом, в формулах (11.6), переходя с помощью (11.20) от декартовых координат к полярным и принимая 
окончательно будем иметь
Аналогичным приемом из (11.10) получим формулы для поперечных сил
Если край круглой пластинки радиуса а защемлен, то
если свободно оперт, то
если свободен от нагрузки, то
Рис. 54
Общее решение уравнения (11.22)
где 
какое-либо частное решение уравнения (11.22); 
-общее решение однородного уравнения
Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде
Решение 
не зависящее от угла 
представляет симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение (11.29), тогда
где 
Общее решение этого уравнения при 
таково:
при 
при 
Постоянные интегрирования 
определяются из условий закрепления края пластинки.
