§ 9. Тензор напряжений
Выберем в теле некоторую точку 
и проведем через нее координатные линии произвольной криволинейной системы координат 
Рассмотрим в точке 
тетраэдр, мысленно выделенный из недеформированного тела тремя координатными поверхностями, определяемыми ковариантными базисными векторами и поверхностью, внешней нормалью к которой служит некоторое направление 
— единичный вектор), проходящее через ту же точку 
(рис. 6).
Рассмотрим движение тетраэдра. Обозначим через 
соответственно площади поверхностей 
и 
.
Рис. 5
Рис. 6
На указанных поверхностях, нормалями которых служат соответственно векторы взаимного базиса 
и единичная нормаль 
, действуют 
где 
векторы напряжения в координатных площадках с нормалями 
Кроме того, массовая сила выделенного элемента равна 
(здесь 
ускорение; 
плотность материала недеформированной среды).
На основании принципа отвердевания и начала Даламбера уравнение движения тетраэдра будет иметь вид
Здесь во втором слагаемом суммирование ведется по индексу 
от 1 до 3. Поскольку для тетраэдра сумма векторов площадей равна нулю, то
Учитывая, что 
ковариантные компоненты единичного вектора), вместо (2.10) будем иметь
откуда
Подставим это в (2.9), тогда
Пусть при постоянном направлении 
расстояние от точки 
до поверхности 
стремится к нулю. Принимая во внимание, что 
из последнего уравнения найдем
Вектор напряжения 
может быть представлен тремя составляющими по отношению к векторам ковариантного базиса 
т. е.
Подставляя (2.12) в (2.11), получим
Учитывая, что 
где 
контравариантные компоненты вектора напряжения, найдем
В (2.13) двойное суммирование ведется по индексам 
а в (2.14) — одинарное суммирование по индексу 
Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью 
поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины 
составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор называется контравариантным тензором напряжений.
