§ 48. Метод конформных отображений

Пусть конечная или бесконечная односвязная область в плоскости переменного ограниченная простым контуром взаимно однозначно отображается на единичный круг в плоскости посредством аналитической функции

причем примем, что для конечной области и для бесконечной области.

Для бесконечной области рассмотрим случай, когда перемещения на бесконечности ограничены; при этом величины в условии (6.108) должны быть равны нулю; также будут нулевыми компоненты тензора напряжений на бесконечности. Искомые функции будут голоморфными (регулярными) в области , включая и точку

Рис. 21

Чтобы использовать конформное отображение (6.116) при решении основных задач и вообще задач плоской теории упругости, преобразуем граничные условия (6.109), (6.111) к переменному

Введя новые обозначения

получим, что функции являются голоморфными в области единичного круга его границу обозначим через

Введем полярные координаты на плоскости ; их можно рассматривать как криволинейные координаты точки плоскости в силу конформности отображения координатные линии, соответствующие ортогональны между собой. Возьмем на плоскости точку и проведем через эту точку

координатные линии Обозначим проекции вектора приложенного в точке в системе координат через а в системе через Из рис. 21 очевидно

или

где угол, составляемый направлением с осью и отсчитываемый от этой оси в положительном направлении. Чтобы вычислить точку переместим в направлении в положение тогда соответствующая точка в плоскости переместится в радиальном направлении в положение поэтому будем иметь

откуда с учетом (6.116)

Из последнего соотношения найдем

Подставляя (6,119) в (6.118), получим

При этом проекции вектора перемещения на направления определяются из равенства

На основании формул (1.13) для плоского напряженного состояния и плоской деформации между компонентами тензора напряжений » в полярных координатах и компонентами тензора напряжений в прямоугольных декартовых координатах имеют место соотношения

справедливость которых проверяется непосредственно. Определив из (6,119)

и учитывая формулы (6.69), (6.116) и (6.117), из формул (6.122) найдем

где

В этом случае вместо граничных условий (6.109), (6.111) соответственно будем иметь

где

и аффикс точки окружности

Следует отметить, что ввиду взаимной однозначности конформного отображения необходимо Новые неизвестные аналитические функции отвечающие прежним можно искать в виде степенных рядов

где коэффициенты вообще говоря, комплексные величины.

Граничные условия (6.124) или (6.125) дают возможность построить для определения этих коэффициентов бесконечную систему линейных уравнений.

В тех случаях, когда отображающая функция является полипомом, задача сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений (этот результат получен Н. И. Мусхелишвили). Ограничившись здесь только приведенными общими замечаниями, перейдем к изложению теории интеграла типа Коши, теоремы Гарнака и задачи Римана.