Глава VII. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 59. Кручение призматического тела произвольного односвязного поперечного сечения

Пусть к основаниям однородного изотропного призматического тела приложены силы, приводящиеся к скручивающим парам. Кроме того, массовые силы отсутствуют, и боковая поверхность тел свободна от внешних сил.

Направим ось параллельно образующим боковой поверхности, а оси возьмем на одном из оснований бруса (рис. 28).

Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к нахождению величин удовлетворяющих в области, запятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия (2.25) при отсутствии массовых сил и формулам закона Гука (4.35), а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях призматического тела.

Рис. 28

Поставленная в таком виде задача представляет большие математические трудности. Поэтому на основании принципа Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по сравнению с размерами его оснований, мы можем смягчить граничные условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные значения; при этом действительное распределение сил на основаниях практически не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от них. Такое интегральное удовлетворение условий на основаниях создает довольно широкий произвол в выборе решения.

Сен-Венан, исходя из вышеуказанных предположений, своим полуобратный методом решил указанную проблему в перемещениях. Решение в перемещениях поставленной проблемы Сен-Венан ищет в виде

где постоянная величина, называемая степенью закручивания, а некоторая функция, подлежащая определению.

Перемещения (7.1) показывают, что поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, причем все сечения одинаково.

Из формул закона Гука (4.35) с учетом формул (3.26) для компонентов тензора напряжений соответствующих перемещениям (7.1), получим

и

Подставляя (7.2) и (7.3) в дифференциальные уравнения равновесия (2.25), когда массовые силы отсутствуют, мы увидим, что первые два из них удовлетворяются тождественно, а третье уравнение

Последнее соотношение показывает, что функция называемая функцией кручения Сен-Венана, должна быть гармонической функцией переменных в области занятой поперечным сечением тела. Из третьей формулы (7.1) вытекает, что перемещение «з также должно быть гармонической функцией.

Учитывая, что внешняя нормаль к контуру любого поперечного сечения перпендикулярна к оси имеем Тогда первые два условия (2.22), ввиду отсутствия внешних сил на боковой поверхности и по условию (7.3), будут удовлетворены тождественно; третье условие (2.22) на с учетом (7,2) примет вид

где через обозначена граница области

Учитывая, что

вместо (7.5) на получим

где — производная по нормали

Задача определения функции есть, таким образом, задача Неймана для уравнения Лапласа. Легко показать, что в нашем случае условие существования решения задачи Неймана выполняется. Действительно,

При соблюдении этого условия решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое не существенно, ибо замена функции на с не меняет напряженного состояния, что следует из формул (7.2), а вызывает, как показывает третья формула (7.1), лишь жесткое поступательное перемещение тела вдоль оси

Для гармонической функции справедливо тождество

на основании которого, с учетом граничного условия (7.6), обнаруживаем, что главный вектор касательных напряжений, приложенных в поперечном сечении, равен нулю. Действительно,

На основании формулы Гаусса — Остроградского из последнего равенства получим

В последней формуле, учитывая граничное условие (7.6), мы будем иметь V] аналогично доказывается, что Поэтому касательные напряжения, приложенные в поперечном сечении, сводятся к паре сил, момент которой равен (рис. 28)

Внося в эту формулу значения из формул (7.2), окончательно получим

В этой формуле

Из условия равновесия на основаниях имеем откуда

где называется крутящим моментом; жесткостью при кручении.

Принимая во внимание формулу (7.6), из формулы Гаусса — Остроградского найдем

С другой стороны, на основании первой формулы Грина

Следовательно,

Умножим обе части последнего соотношения на и сложим с (7.9), получим

Отсюда следует, что всегда

Введем гармоническую функцию сопряженную с функцией тогда по условиям Коши — Римана будем иметь

Граничное условие, которому удовлетворяет функция получится из (7.6), если внести туда условия (7.10) и учесть (6.27). В результате получаем

Интегрируя обе части этого равенства по контуру поперечного сечения, будем иметь

Для компонентов тензора напряжений на основании (7.2) с учетом условий (7.10) мы получим формулы

Из этих формул хорошо видно, что решение задачи не изменится, если в функции прибавить постоянную величину.

Следовательно, определение функции сведено к задаче Дирихле для уравнения Лапласа.

Часто вместо функции вводят другую называемую функцией напряжений при кручении или функцией напряжений Прандтля. Эта функция определяется формулой

В этом случае из (7.12) будем иметь

Из (7,13), учитывая, что

получим

Для функции граничное условие на основании (7.11) примет вид

Таким образом, задача определения есть задача Дирихле для уравнения Пуассона (7.15) при граничном условии (7.16). Из формулы (7.8) с учетом (7.14) для определения крутящего момента будем иметь

Эта формула показывает, что величина момента не меняется, если к функции прибавить любую постоянную. Записав (7,17) в виде

и применив к первому интегралу формулу Гаусса — Остроградского, получим

Принимая в (7.16) постоянную С равной нулю, что допустимо, так как изменение на постоянную величину не меняет решения задачи, что видно из (7.14) и (7.17), вместо формулы (7.18) будем иметь

Эта важная формула принадлежит Прандтлю.