Глава IX. ТРЕХМЕРНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Для решения трехмерных статических задач теории упругости мы не располагаем таким эффективным аналитическим аппаратом, как в плоской теории упругости. Здесь мы рассмотрим такие частные решения уравнения равновесия в случае отсутствия массовых сил, для которых вблизи определенных точек перемещение неограниченно возрастает. Эти точки должны лежать вне тела или содержаться в особых полостях внутри него. Следует отметить, что наиболее простой тип изолированной особой точки представляет собою точка приложения сосредоточенной силы.

§ 75. Решения Кельвина и Буссинеска — Папковича

Если на тело действуют массовые оилы, то векторное уравнение равновесия имеет вид (5.7). Будем предполагать, что область, занятая телом, простирается безгранично по всем направлениям, а массовая сила от нуля в области совпадающей либо со всей областью либо с частью ее.

Приводим общую форму частного решения, данную Кельвином. Выразим вектор перемещения при помощи скалярного потенциала и векторного потенциала формулой

Здесь V — оператор Гамильтона.

Предположим также, что массовые силы могут быть представлены в виде

Используя в уравнении равновесия (5.7) векторное тождество

придем к уравнению

Из (9.1) вычислим

Подставляя эти соотношения и (9.2) в уравнение равновесия (9.3), найдем

Это уравнение будет удовлетворено, если положить

Таким образом, частное решение уравнения (9.3) можно получить на основе частных решений уравнений Пуассона (9.4), имеющих, как известно из теории потенциала, вид

где -расстояние от точки области для которой вычисляются функции и ; интегралы распространяются по области вне которой массовые силы равны нулю (рис. 39); функции определяются по формулам

которые вытекают из условия, что массовую силу можно представить в виде (9.2). Действительно, при из (9.2) найдем

или при

Рис. 39

Частные решения этих уравнений могут быть представлены в виде

Применим формулу Гаусса — Остроградского к первому равенству (9.9); тогда

где поверхность области

Полагая, что массовая сила непрерывна в области вплоть до ее границы (тогда на этой границе а так же вместо (9.10) получим (9.7). Таким же образом, из трех оставшихся уравнений (9.9) найдем

Эти три скалярные равенства эквивалентны одному векторному равенству (9.8).

Для получения решения Буссинеска — Папковича общее решение уравнения равновесия (9.3) представим в виде

где радиус-вектор точки тела; неизвестные постоянные; - неизвестные функции координат.

Действуя на обе части равенства (9.11) оператором и учитывая векторные тождества

найдем

Так как

из (9.11) будем иметь

Учитывая (9.12), (9.13) и в уравнении (9.3), будем иметь

Это уравнение будет удовлетворено, если положить

Из второго уравнения (9.14) найдем

Приняв из третьего уравнения будем иметь

Подставив (9.15) в первое уравнение (9.14), получим

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция и скалярная функция удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции - скалярную функцию и три проекции вектора Представление, в котором является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным.

Некоторые задачи можно решить, не используя такого количества функции. Если, например, в решении (9.11) принять то получим простое решение вида

На основании первого уравнения (9.14) функция является

гармонической; кроме того из третьего уравнения (9.14) следует, что решение (9.17) годно для случая, когда отсутствуют массовые силы.

Из (9.17) найдем, что

Таким образом, для простого решения вида (9.17) объемная деформация тождественно равна нулю.

На основании формул (4.35) для решения вида (9.17) формулы тензора напряжений примут вид