Глава IV. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМ И ДЕФОРМИРОВАННЫМ СОСТОЯНИЯМИ
§ 23. Обобщенный закон Гука
Уравнения, полученные в главах II и III, недостаточны для определения напряженного и деформированного состояний, возникающих в теле под действием приложенных сил. Поэтому эти уравнения должны быть дополнены определенными соотношениями, связывающими напряженное и деформированное состояния. Эти зависимости определяется исходя из физических свойств твердого тела, подвергающегося деформации. Установление связи между напряженным и деформированным состояниями является одной из важных задач механики сплошной среды, требующей постановки предварительных экспериментов. Это связь обычно идеализируется простейшими математическими формулами.
В процессе деформирования в одних случаях устранение внешних сил приводит к полному возвращению тела в естественное состояние, т. е. деформация обратима, в других же случаях после устранения нагрузки в теле сохраняются деформации, называемые остаточными или пластическими, т. е. деформация необратима. В дальнейшем мы будем изучать вполне обратимые малые деформации.
Примем, что в каждой точке рассматриваемого тела существует взаимно однозначное соответствие между напряженными и деформированным состояниями.
Выражая это аналитически, получим шесть зависимостей вида
которые однозначно разрешимы относительно компонентов тензора деформаций
За недеформированное состояние упругого тела принимается такое его состояние, когда в нем отсутствуют напряжения. Это состояние в дальнейшем берется за начало отсчета напряжений и деформаций. Ввиду этого функции 
а также 
обращаются в нуль, когда их аргументы обращаются в нуль
Для многих материалов зависимости (4.1) или (4.2) являются
линейными, если величины напряжений не выходят за определенный предел.
Линейный закон связи между напряжениями и деформациями называется обобщенным законом Гука. Обшая запись закона Гука будет следующая:
Переставим поочередно в (4.3) индексы 
на 
из условия симметрии тензора напряжений и тензора деформаций обнаружим симметрию величин
которые образуют тензор четвертого ранга. Величины 
назовем упругими коэффициентами тела. Общее число различных коэффициентов 
как можно убедиться, на основании (4.4) равно 36. Упругие коэффициенты зависят от метрического тензора 
недеформированного тела и от его физических свойств. Учитывая, что
(4.3) запишем в виде
На основании правила скалярного умножения 
представляет собой смешанный тензор 
контравариантные компоненты тензора малой деформации.
Таким образом, вместо (4.3) имеем
Запишем закон Гука (4.3) в виде 
Сцмем (в силу симметрии 
справедливы равенства 
и произведем преобразования, аналогичные вышеприведенным. Тогда получим
Для случая осевого растяжения призматического бруса закон Гука записывается в виде
где 
соответственно продольная и поперечная деформации а 
постоянные, равные
Здесь 
продольный модуль упругости; 
-коэффициент Пуассона.
