§ 3. Метрический тензор

Рассмотрим две бесконечно близкие точки пространства. Эти точки определяют бесконечно малый вектор не зависящий от выбора системы координат. Длину вектора обозначим через Если по условию определяет единичный вектор, направленный по прямой то

Проведем из точки координатные линии, которые не лежат в одной плоскости и, вообще говоря, не ортогональны. Обозначим через с систему векторов, направленных по касательным к координатным линиям с длиной, не равной единице; тогда

где бесконечно малые векторы, определяющие параллелепипед, диагональю которого является вектор т. е.

Отсюда, согласно правилам скалярного умножения векторов, найдем

где

Система векторов называется ковариантным базисом координатной системы.

В квадратичной форме дифференциалов коэффициенты как явствует из (1.28), образуют симметричную матрицу Таким образом, на основании теоремы о признаке тензора являются компонентами ковариантного тензора, называемого ковариантным метрическим тензором.

При использовании криволинейных координат целесообразно ввести, наряду с основным базисом взаимный контравариантный базис т. е. тройку векторов связанных с основными векторами формулами;

где символы Кронекера.

Для этого достаточно принять

Из (1.29) тзкже следует, что

Итак, перпендикулярен плоскости

Если система координат ортогональна, то, очевидно, [см. (1.30) и (1.31)] базисные векторы совпадут по направлениям, но их величины, вообще говоря, различны.

Представим вектор как линейную комбинацию векторов

Учитывая соотношения (1.28) и (1.29), получим следовательно, Отсюда по правилу Крамера найдем

Здесь алгебраическое дополнение элемента в детерминанте

Из (1.32) на основании (1.29) будем иметь

Величины являются симметричными. Подставляя (1.32) в (1.29), будем иметь

Отсюда заключаем, что величины являются компонентами контравариантного Тензор называется контравариантным

метрическим тензором. Компоненты этого тензора могут быть вычислены при помощи (1.33).

Умножим теперь контравариаитный вектор на метрический тензор и свернем; тогда мы получим ковариантный вектор который мы обозначим через Следовательно,

Таким же образом

Векторы связанные формулами (1.34) и (1.35), называются ассоциированными векторами. Как видно из формул (1.34) и (1.35), мы легко можем вычислить компоненты одного из векторов по компонентам другого. Поэтому удобно рассматривать как различные соответственно ковариантные и контравариантные компоненты одного и того же векора А.

Тензор называется смешанным метрическим тензором. Легко доказать, что совпадает с тензором Кронекера. Действительно, на основании формул (1.34), (1.35) и (1.36) имеем

откуда

Для того чтобы эти соотношения выполнялись при всех значениях компоненты смешанного метрического тензора следует выбрать следующим образом:

Рассмотрим теперь ковариантный тензор Если нужно поднять первый индекс тогда тензор следует умножить на и затем свернуть относительно первого индекса, т. е.

Для того чтобы можно было узнать, какой индекс был поднят, на его место ставят точку. Например, в равенстве

поднят второй индекс k. Оба индекса можно поднять по формуле

Эти операции, очевидно, можно полностью перенести на тензоры любого ранга. Все тензоры, полученные один из другого указанным способом, называются ассоциированными; компоненты их

также могут быть рассмотрены как компоненты одного и того же тензора.

В прямолинейной прямоугольной системе координат квадрат расстояния между точками А с координатами с координатами будет

Так как

Теперь формуле (1.38) можно придать вид

Введя обозначение

последней формуле придадим вид

На основании теоремы о признаке тензора заключаем, что ковариантный тензор.

Определим значения контравариантных и ковариантных компонентов вектора а, заданного в точке пространства. Проведем через эту точку три координатные поверхности

Пересечение этих координатных поверхностей определит три координатные линии.

Вычислим углы, образуемые направлениями с осями прямоугольной декартовой системы координат Вдоль возьмем элементарный вектор длина его определится по формуле

Здесь суммирование ведется по индексу от 1 до 3. Учитывая, что вдоль координатной линии координаты зависят только от координаты последней формуле придадим вид

или, в силу формул (1.39),

Тогда выражение для косинуса угла между направлением и осью примет вид

Как известно, формула для косинуса угла между направлением (или между вектором и осью имеет вид

Учитывая, что в прямоугольной декартовой системе координат компоненты тензора равны в силу (1.10) будем иметь

отсюда

На основании этой формулы из (1.43) найдем

Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты векторов через и а его компоненты в прямоугольной декартовой системе координат — через Далее обозначают проекции вектора а соответственно на Учитывая, что орты прямоугольной декартовой системы координат), согласно основной формуле для проекции вектора на заданное направление получим

другой стороны, на основании формул (1.5) и (1.7) имеем

Подставляя эти выражения соответственно в (1.45) и (1.46), окончательно получим

Отметим еще раз, что в (1.47) и (1.48) по индексу к никакого суммирования производить не следует. Если криволинейиая система координат ортогональна, то направления не к совпадут, тогда обозначим их через

Если криволинейная система координат ортогональна, то, как известно,

где Ни — коэффициенты Лямэ.

В этом случае из (1.47) и (1.48) получим

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах через физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через а его контравариаитные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь

Учитывая здесь (1.44) и то, что можем написать

На основании (1.13)

тогда

Учитывая, что будем иметь

Определим угол между двумя произвольными векторами заданными в одной точке. Векторы можно определить линейной комбинацией вида

Скалярное произведение векторов равно

или

С другой стороны,

где

Подставляя (1.51) и (1.53) в (1.52), найдем

Из последнего получим условие ортогональности двух векторов