§ 70. Принцип минимума потенциальной энергии
Обозначим истинный вектор перемещения через и, а соответствующий ему тензор напряжений — через 
Этот тензор напряжений удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия
и условиям на поверхности
Придадим вектору перемещения вариацию 
тогда на основе 
формул (3.26) будем иметь
Отсюда найдем изменение тензора деформаций
Обозначая удельную работу деформации варьированного состояния равновесия через 
и разлагая ее выражение в ряд Тейлора, получим
Здесь 
— значение удельной работы деформации в истинном состоянии равновесия. Учитывая, что
и принимая во внимание закон Гука, последнему члену (8.8) придадим вид
Выражение (8.9), как известно из (4.36). представляет собой значение удельной работы деформации, соответствующее вариации вектора перемещения 
и всегда положительно-определенно. Используя (4.20) и (8.7), второму члену (8.8) придадим вид
Обозначим векторы напряжения на координатных площадках через 
тогда вместо (8.10) будем иметь
где V — оператор Гамильтона, 
Из (8.8), с учетом (8.9), (8.11), найдем
выражающую приращение работы деформации. Непосредственной проверкой легко найти, что
(здесь по индексу 
суммирование не производится), откуда
При помощи формулы Гаусса — Остроградского получим
В правой части второго равенства подынтегральное выражение суммируется по индексу 
косинусы углов между нормалью 
и осями координат
На основании формулы (8.5) из (8.15) найдем
а на основании уравнения равновесия (2.27)
Следовательно, из (8.12) с учетом (8.14) будем иметь
Пусть 
сумма тех частей поверхности, на которых вектор перемещения принимает заданные значения, а 
остальная часть поверхности, на которой заданы силы 
Учитывая, что на 
где поверхностные силы неизвестны, 
и на 
поверхностные силы 
так же, как и массовые силы, не варьируются, из (8.16) найдем
или
где
Здесь 
работа деформаций, соответствующая истинным перемещениям: 
работа объемных сил на истинных перемещениях; 
работа заданных на 
поверхностных сил на перемещениях 
— потенциальная энергия тела; 
положительно-определенная величина.
Равенство (8.17) позволяет сформулировать следующую теорему: потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле.
