§ 18. Тензор деформаций в декартовой системе координат

В декартовой системе координат ковариантиые и контравариантные векторы совпадают друг с другом; совпадают также ковариантные производные с обычными производными, так как в этом случае метрический тензор постоянен, следовательно, символы Кристоффеля равны нулю.

Таким образом, согласно (3.17) в декартовой системе координат компоненты тензора конечной деформации определяются по формулам

Учитывая, что в случае декартовой ортогональной системы координат формулы (3.7) и (3.8) примут вид

По этим формулам вычисляются относительные удлинения линейных элементов, исходящих из некоторой точки среды параллельно осям декартовой прямоугольной системы, и углы, образованные между этими линейными элементами после деформации.

Согласно (3.17) или (3.24) в декартовой прямоугольной системе координат компонентами малой деформации будут

Если рассматривается малая деформация, то из (3.25) будем иметь

Рис. 11

Таким образом, из следует, что величины суть относительные удлинения линейных элементов, которые до деформации были параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат. Величины представляют собой косинусы углов, образующихся после деформации между двумя линейными элементами, которые до деформации были параллельны осям координат. Имеем

Здесь угол поворота к оси линейного элемента, параллельного оси и равного угол поворота к оси линеиного элемента, параллельного оси и равного (рис. II). Значит, представляет собой изменение угла между двумя линейными элементами, параллельными осям . В декартовой системе координат компоненты тензора вращения

Повернем оси декартовой прямоугольной системы координат, новые оси обозначим через Учитывая, что есть тензор, на

основании (1.13) имеем откуда сумма относительных удлинений в трех взаимно ортогональных направлениях, исходящих из одной точки тела, не зависит от их ориентации в данной точке.