§ 42. Функция напряжений Эри

Решение задач плоской теории упругости значительно упрощается, если массовыми силами пренебречь либо в силу их малости, либо, имея в виду, что всегда задачу при наличии массовых сил можно свести к задаче без массовых сил, если найти какое-либо частное решение соответствующих неоднородных дифференциальных уравнений равновесия, В дальнейшем будем предполагать, что массовые силы отсутствуют.

В плоской задаче теории упругости большую роль играет введенная впервые Эри вспомогательная функция. Следует отметить, что благодаря введению этой функции был создан плодотворный метод решения задач плоской теории упругости.

В случае отсутствия массовых сил уравнения (6.5) примут вид

Первое уравнение (6.21) показывает, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции следовательно,

Таким же образом из второго уравнения имеем

где некоторая функция. Сравнение этих формул для одной и той же величины дает соотношение

которое показывает, что выражение представляет со бой полный дифференциал некоторой функции так что

откуда

Подставляя значения в формулы (6.22) и (6,23), получим

Эти формулы были впервые получены Эри. Функция называется функцией напряжения Эри.

Рис. 17

Очевидно, если допустить, что имеют место соотношения (6.24), уравнения (6.21) будут удовлетворены тождественно. Кроме того, как известно, для того, чтобы величины соответствовали действительному напряженному состоянию, они должны удовлетворять условию совместности т. е.

С другой стороны, из соотношений (6.24) имеем

Учитывая последнее равенство, из (6.25) окончательно получим

где

В дальнейшем мы будем считать, что функция напряжений в области имеет непрерывные производные вплоть до четвертого порядка.

Таким образом, для того чтобы функция напряжений определяла некоторое действительное напряженное состояние, необходимо и достаточно, чтобы она была бигармонической.

Выведем теперь контурные условия, которым должна удовлетворять функция Эри. Допуская, что на границе данной области заданы внешние силы преобразуем контурные условия (6.12).

Мы будем в дальнейшем предполагать, что контуры простые, т. е. не самопересекающиеся, и достаточно гладкие.

Выразим через производные координат по дуге I, отсчитываемой в положительном направлении вдоль рассматриваемого контура. Из рис. 17 имеем

Внося (6.24) и (6.27) в контурные условия (6.12), получим на

или

Для произвольной точки контура введем обозначения

Тогда, интегрируя равенства (6.28), получим

Итак, приращения функций при переходе из точки в точку (эти точки лежат на одном и том же контуре) равны соответственно проекциям на ось и на ось результирующего вектора внешних сил, приложенных к контуру между этими двумя точками. Имея формулы (6.30), нетрудно найти производные

Внося значения из (6.30) в (6.31) и интегрируя полученный результат по I, будем иметь

Формула (6.33) показывает, что по заданным на любой контуре значениям внешних сил можно вычислить значение в любой точке того же контура с точностью до линейного слагаемого вида

Следует отметить, что это слагаемое для компонентов тензора напряжений, вычисляемых формулами (6.24), выпадает.

Если заданная область односвязна, то на контуре можно принять равными нулю. Если область многосвязна, то, положив постоянные равными нулю на каком-либо одном из контуров, мы не можем распоряжаться остальными по произволу.

Подставляя значения из (6.30) в (6.32), определим значение нормальной производной

по заданным внешним силам, приложенным на контурах.

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости сводится к определению бигармонической функции по известным на контурах значениям этой функции и ее нормальной производной.

При полном обходе любого замкнутого контура в силу формул (6.30), (6.33) будем иметь

где соответственно проекции на ось и на ось главного вектора внешних сил, приложенных к рассматриваемому контуру. Интегрируя (6.36) по частям, получим

где и — координаты произвольной точки рассматриваемого контура с которой начинается полный обход. Третий член (6.37) определяет значение главного момента всех внешних сил, приложенных к рассматриваемому контуру, относительно произвольно выбранного начала координат.

Формулы (6.35) и (6,37) позволяют установить условия однозначности функции и ее производных Функция

и ее производные будут однозначными в том случае, если главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к каждому контуру области, в отдельности равны нулю; если главный вектор равен нулю, то функция будет, вообще говоря, неоднозначной, а ее производные будут однозначными функциями; если же главный вектор не равен нулю, то неоднозначными будут как сама функция так и ее производные.

Рис. 18

Ряд интересных решений уравнения (6.26) можно получить, задавшись функцией Эри в виде полиномов различных степеней. В качестве простейшего примера выберем функцию Эри в виде полинома второй степени, который, очевидно, удовлетворяет уравнению (6.26)

В случае отсутствия массовых сил по формулам Эри (6.24) для компонентов тензора напряжений получим

Таким образом, все три компонента постоянны по всей области. Для прямоугольной полосы со сторонами, параллельными осям координат (рис. 18), силы, приложенные к контуру, где , в силу формулы (6.12) будут

Уравнению (6.26) также удовлетворяет полином третьей степени

На основании формулы (6.24) компоненты напряжений будут

Предполагая мы получим

Эта система компонентов тензора напряжений соответствует чистому изгибу прямоугольной полосы внешними силами, приложенными обоих ее концах Эти внешние силы на основании формул должны быть равны на конце на конце Главный вектор и главный момент этих сил, очевидно,

будут

здесь — толщина полосы; — высота полосы.

Согласно принципу Сен-Венана найденное решение применимо вдали от концов полосы также для случая, когда вместо внешних сил, приложенных на обоих концах полосы и распределенных во закону (6.39), действуют статически эквивалентные пары сил с моментом причем вблизи места приложения пар напряженное состояние будет отличаться от (6.39). Если не равен пул» только коэффициент то отличным от нуля компонентом тензора напряжений будет нормальное напряжение Если же только один из коэффициентов не равен нулю, например то в дополнение к нормальному напряжению появляется касательное напряжение Когда используются полиномы более высокой степени, чем третья, то бигармоническое уравнение удовлетворяется при некоторых соотношениях между их коэффициентами