§ 12. Уравнения движения и равновесия в декартовой системе координат

Пусть оси декартовой прямоугольной системы координат, проведенные через некоторую точку нагруженного тела.

Тогда ковариантные и контравариантные компоненты вектора и тензора напряжений совпадут друг с другом и, в силу формул (1.55), (1.56), будут равны физическим компонентам, а формулы (2.14) примут вид

Здесь компоненты вектора напряжений действующего на площадке, проходящей через заданную точку тела, внешняя нормаль к которой составляет с осями координат углы компоненты аффинного ортогонального тензора напряжений, причем (не суммировать) — нормальные к координатным площадкам напряжения; -касательные напряжения.

Симметричность тензора напряжений выражает закон парности касательных напряжений: в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения перпендикулярны к линии пересечения площадок, по величине и направлены в противоположные стороны (рис. 7).

Повернем оси вокруг начала кооординат, тогда в силу (1.13) будем иметь

косинус угла между осями

Учитывая, что где суммирование ведется по индексу из (2.23) получим

Следовательно, сумма нормальных компонентов напряжений, действующих на три взаимно перпендикулярные площадки, не зависит от их ориентации в данной точке.

В декартовой прямоугольной системе координат, благодаря тому, что символы Кристоффеля обращаются в нуль и ковариантные компоненты вектора и тензора напряжений совпадают с физическими компонентами, уравнения движения (2,19) и равновесия (2.20), соответственно примут вид

Эти уравнения могут быть записаны и в следующем виде:

в случае движения,

в случае равновесия.

Здесь вектор напряжения на координатной площадке