§ 53. Равновесие кругового полого цилиндра

Рассмотрим равновесие кругового полого цилиндра, находящегося под действием: а) равномерно распределенных касательных сил, приложенных на границах; б) постоянного давления на границах. Оба случая относятся к первой краевой задаче.

В случае а) главные векторы приложенных на каждой из границ сил в отдельности равны нулю, поэтому из формул (6.100) и (6.101) следует, что функции голоморфны внутри кольца (рис. 25). Эти функции определяются из граничных условий

где

Вследствие равенства моментов соотношение между касательными силами имеет вид

В круговом кольце функции возьмем в виде

Учитывая (6.164) в граничных условиях, найдем

откуда

Таким образом,

Подставляя эти функции в формулы (6.123), получим

Отсюда найдем, что

В свою очередь, из формулы (6.121) с учетом (6.67) найдем

откуда

Рис. 25

Задача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь принимают вид

Функции возьмем в виде

где коэффициенты предполагаются вещественными. Для них, подставляя (6.164) к (6.166) в граничные условия (6.163), получим систему двух линейных уравнений

Корнями этой системы будут

Тогда

Подставляя эти функции в формулы (6.123) и (6.121), для определения компонентов тензора напряжений и вектора перемещения, получим при соотношения и (6.51).

Рассмотрим теперь следующую задачу.

Пусть на окружности отверстия радиуса в бесконечной пластинке приложены заданные напряжения Пластинка на бесконечности находится в однородном напряженном состоянии. Определим напряженное состояние пластинки.

На основании формул (6.69) и (6.122) имеем

Подставим (6.104) и (6.105) в (6.167), тогда с учетом (6.106) на окружности будем иметь

Разложим на окружности в комплексный ряд Фурье

где

Подставим (6.169) в (6.168) и сравним в обеих частях полученного соотношения коэффициенты с одинаковыми степенями Тогда

Определив из этих рекуррентных соотношений по формулам (6.123) найдем компоненты тензора напряжений. Рассмотрим случай, когда и на бесконечности напряженное состояние отсутствует, т. е. тогда из (6.170) и (6.171) с учетом того, что будем иметь

Следовательно,

и

Полученное решение совладает с предыдущим решением, если принять

Для случая будем иметь

Следовательно,

и

Последние формулы совпадают с формулами (6.50), если в них принять