§ 45. Степень определенности введенных функций и ограничения, накладываемые на них

Нетрудно показать, что при заданном тензоре напряжений функция определяется с точностью до аддитивной мнимой постоянной а функция находится точно.

Пусть пара аналитических функций, связанных с заданными компонентами формулами (6.69); тогда

Пусть также другая пара функций, связанных с теми же соотношениями

После сравнения равенств (6.77) и (6.79) получаем

Из формул же (6.78) и (6.80) следует

Из двух последних равенств вытекает, что

где — вообще говоря, комплексные постоянные.

Имеет место и обратное утверждение. Если заменить функцией напряженное состояние тела не изменится. Справедливость этого положения вытекает из непосредственной подстановки этих функций в формулы (6.77) и (6.78).

Легко видеть, что при заданных проекциях вектора перемещения нельзя произвольно задавать постоянные Пусть пара функций, связанных с заданными компонентами вектора перемещения формулой (6.67); тогда

При замене согласно (6.81) и (6.82) из предыдущей формулы получим

Отсюда видно, что при этом проекции вектора перемещения не изменятся, если

Таким образом, в этом случае можно произвольно задавать только одну из постоянных При заданных напряжениях подходящим выбором постоянных с, у можно обеспечить соблюдение условий

где некоторая фиксированная точка области. Этими условиями вполне фиксируется пара аналитических функций При заданных проекциях вектора перемещения можно путем выбора одной из постоянных у или у положить

Одним из этих условий вполне фиксируется пара аналитических функций Если деформируемая среда занимает односвязную область, то функции будут однозначными в этой области. Если замкнутая кривая рассматривается в односвязной области, где функции однозначны, то из (6.74), (6.76) следует

т. е. главный вектор и главный момент сил, приложенных к этой кривой, равны нулю. При многосвязной области, как, например, в случае пластинки с отверстиями, функции могут оказаться многозначными.

Перейдем к исследованию характера многозначности этих функций сперва для случая конечной и затем — бесконечной многосвязной области. Ясно, что физически компоненты тензора напряжений должны быть однозначными в области; такое же условие наложим и на вектор перемещения. Поэтому, согласно формулам (6.69),

вдоль произвольной замкнутой кривой проведенной в многосвязной области, занятой телом, мы будем иметь

Из (6.87) ясно, что является однозначной гармонической функцией. Однако известно, что при этом аналитическая функция может оказаться многозначной в неодносвязной области, ибо при обходе замкнутой кривой, расположенной в области и охватывающей какой-либо из внутренних контуров, мнимая часть вообще говоря, изменяется на некоторую постоянную величину, а следовательно, сама функция получает приращение, равное чисто мнимой постоянной. Ниже убедимся, что в данном случае такое приращение не имеет места. В силу ранее сказанного очевидно, что функция будет голоморфной, т. е. однозначной аналитической функцией. Учитывая, что

имеем

т. е. является голоморфной функцией в многосвязной области.

Дифференцируя выражение (6.67) по координате будем иметь

Вследствие однозначности величин (вторая формула из последнего равенства имеем

Сравнение этого равенства с (6.87) дает

т. е. также есть голоморфная функция.

На основании (6.91) формулы (6.74), (6.76) для замкнутой кривой примут вид

Обозначим через аффиксы произвольно выбранных точек внутри соответствующих контуров не имеющих общих точек в охватываемых внешним контуром Функцию

запишем в виде

где произвольно фиксированная точка в рассматриваемой многосвязной области. Интеграл

является, как правило, неоднозначной функцией и в общем случае при обходе любого внутреннего контура получает приращение где вообще говоря, комплексная постоянная (множитель введен для удобства).

Легко заметить, что функция

в рассматриваемой области будет голоморфной. Действительно, при однократном обходе вокруг контура функция получает то же приращение между тем как остальные слагаемые суммы не получают приращений; так что функция возвращается к своему прежнему значению.

Учитывая формулу (6.94), из равенства (6.93) получаем

где голоморфная функция. Далее исходя из формулы

и рассуждая аналогично предыдущему, будем иметь

где вообще говоря, комплексные постоянные и — голоморфная функция.

Подставим в формулу (6.67) выражения функций при однократном обходе по замкнутой кривой расположенной в данной области и охватывающей только контур вектор перемещения получит приращение

Из этой формулы видно, что для однозначности перемещений должно быть выполнено условие

Теперь определим коэффициенты для этого по первой формуле (6.74) вычислим главный вектор сил, приложенных с надлежащей стороны к той же кривой его значение дается формулой

Отсюда следует, что главный вектор не зависит от выбора кривой

Решая совместно уравнения (6.97) и (6.98), получим

Внеся эти значения в формулы (6.95) и (6.96), окончательно будем иметь

Рассмотрим случай бесконечной многосвязной области, например, занимаемой неограниченной пластинкой, ослабленной конечным числом криволинейных отверстий; она может быть получена из ранее рассмотренной области при удалении внешнего контура на бесконечность. Для всякой точки, расположенной вне окружности охватывающей все границы отверстий, будем иметь

Функция будет голоморфной вне окружности включая бесконечно удаленную точку; поэтому из и (6.101) найдем

где главный вектор сил, приложенных на всех контурах области; функции, голоморфные всюду вне окружности за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки.

Подставляя выражения (6.102), (6,103) в (6.69) и налагая условие ограниченности компонентов тензора напряжений во всей рассматриваемой бесконечной области, придем к соотношениям

где вообще говоря, комплексные постоянные; функции, голоморфные вне окружности включая бесконечно удаленную точку, так что в ее окрестности справедливы разложения

силу формул (6.85), не меняя напряженного состояния среды, всегда можем принять

Величина имеет механический смысл. Чтобы показать это, поступим следующим образом. Продифференцируем соотношение (6.67) по и по а затем сложим полученные выражения. Тогда

Отсюда значение вращения определится формулой

Из этой формулы с учетом (6.104) при находим

Отсюда

Пусть значения главных напряжений на бесконечности и а — угол между направлением и осью для них имеем

На основании этих формул

Сопоставляя последние выражения с формулами (6.69) и учитывая (6.104), (6.105) и (6.106), при получим

Значит, в бесконечно удаленных частях плоскости имеет место распределение тензора напряжений, бесконечно мало отличающееся от равномерного.

Подставляя формулы (6.104) и (6.105) в (6.67), для больших будем иметь

где многоточие обозначает слагаемые, остающиеся ограниченными при возрастающем

Таким образом, перемещение на бесконечности не ограничено; оно будет ограничено, если главный вектор сил, действующих на все контуры области, и напряжения на бесконечности равны нулю, а также бесконечно удаленная часть плоскости не испытывает вращения.

Если напряжения на бесконечности равны нулю, а главный вектор внешних сил не равен нулю, то перемещение все же возрастает как