§ 16. Тензор малой деформации

Если деформации (удлинения и сдвиги), а также углы поворота малы по сравнению с единицей и имеют одинаковый порядок малости (что имеет место при рассмотрении деформации тел, все размеры которых сравнимы друг с другом по величине), то в общей формуле (3.17) можно отбросить, как малые величины, нелинейные слагаемые. В этом случае тензор деформаций называется тензором малой деформации и обозначается через Следовательно,

Материалы, применяющиеся в технике, за исключением таких, как резина, некоторые пластмассы и др., сохраняют упругость только при весьма малых удлинениях и сдвигах. Отсюда ясна практическая важность тензора малой деформации.

Пусть точка, близкая к точке ее положение после перемещения. На рис. 10 и представляют собой соответственно перемещения точек

Разлагая а в ряд в точке и пренебрегая членами высших порядков малости относительно контравариантные компоненты вектора будем иметь

Из последнего соотношения найдем перемещение точки относительно точки

Представив и умножив скалярно обе части приведенного выше равенства на получим

где ковариантная производная в точке

Введя обозначения

вместо (3.19) будем иметь

Из формулы (3.20) заключаем, что антисимметричный тензор, называемый тензором вращения. Перемещение типа возникает вследствие деформации окрестности точки тогда как перемещение типа возникает вследствие вращения окрестности точки как абсолютно твердого тела вокруг нее.