§ 68. Изгиб призматического тела с эллиптическим поперечным сечением

Пусть плоскости будут плоскостями симметрии призматического тела, а нагрузка, действующая на его торец, статически эквивалентна силе которая направлена вдоль оси и приложена в центре торца. В этих условиях, очевидно, тело будет работать на изгиб без кручения.

На основании формул (7.80) будем иметь

Учитывая эти соотношения в (7.91), будем иметь

Следуя приему Тимошенко, введем вместо функции изгиба новую функцию

где произвольная функция только от

Подставляя (7,118) в (7.117), получим граничные условия на

В частном случае функцию можно выбрать таким образом, чтобы выражение, находящееся в скобках, обращалось в нуль, тогда граничное условие на лримет простой вид

Поскольку поперечное сечение односвязное, (7.120) на может быть записано в виде

Например, для случая, когда поперечное сечение представляет собой эллипс, равенству (7.120) можно удовлетворить, положив

Здесь полуоси эллипса.

Рассмотрим задачу об изгибе эллиптического цилиндра. Для данной задачи, в силу (7.118), функция примет вид

Учитывая (7.123) в (7.116), получим уравнение вида

где

Решение уравнения (7.124) ищем в виде

Это решение удовлетворяет граничному условию (7.121). Подставляя (7.126) в уравнение (7.124), будем иметь

откуда

Зная функцию из (7.123) можем определить функцию

На основании формул (7.85) с учетом того, что для заданной задачи будем иметь

из формулы (7,76)

Последняя формула нормального напряжения полностью совпадает с формулой элементарной теории изгиба, чего нельзя сказать в отношении формул для тангенциальных напряжений .

Согласно элементарной теории изгиба, в данной задаче зависит только от

На оси имеем

тогда как по формуле Журавского на этой оси

Если материал несжимаем, т. е. формулы (7.131) и (7.132) совпадают.

В данной главе мы рассмотрели теорию кручения и изгиба призматических тел, имеющую большое значение для техники. Здесь не обсуждается большое число специальных задач, исследованных многими авторами.