§ 4. Дифференцирование базисных векторов. Символы Кристоффеля
Из формулы (1.26) следует
Базисные векторы, вообще, являются функциями положения точки, в которой они определяют координатный триэдр. Изменения базисных векторов характеризуются значениями производных 
. В евклидовом пространстве, очевидно, производная вектора по скалярному аргументу будет также вектором.
Значения 
представим в виде суммы трех векторов, параллельных базисным векторам 
, т. е.
Величины 
называются коэффициентами связности или символами Кристоффеля. Если координаты декартовы, то 
постоянные векторы, поэтому тогда как для криволинейной системы координат 
Из (1.56) следует, что
На основании (1.58) из формул (1.57) имеем
откуда следует, что
Символы Кристоффеля выражаются через производные метрического тензора. Умножая равенство (1.57) скалярно на и учитывая (1.28), получим
Переставив в равенстве (1.60) индексы 
и учитывая (1.59), найдем
Складывая (1,60) и (1.61), будем иметь
Вычислим в этой формуле выражение, заключенное в скобки. Учитывая соотношение (1.58), найдем
Следовательно, формула (1.62) примет вид
После умножения (1.63) на 
и суммирования по индексу 
с учетом (1.36) и (1.37) получим
Отсюда также видно, что символы Кристоффеля симметричны относительно индексов 
Легко показать, что имеет место следующее равенство:
Дифференцируя равенство 
получим
Учитывая (1.57), найдем
Теперь 
представим в виде
Умножим скалярно обе части этого равенства на 
тогда
Сравнивая это соотношение с выражением 
найдем
Отсюда придем к формуле (1.65).
