§ 72. Метод Рэлея-Ритца

Решение задачи теории упругости часто связано со значительными математическими трудностями. В этих случаях прибегают к принципам минимумов потенциальной или дополнительной энергии. Применение этих принципов заключается в отыскании функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи, и минимизации потенциальной энергии или дополнительной энергии

Одним из наиболее эффективных вариационных методов является метод Рэлея — Ритца. По этому методу решение представляется в виде выражения, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неизвестные коэффициенты , где Затем вычисляется значение потенциальной или дополнительной энергии. Полученные таким образом выражения будут функциями

коэффициентов Эти коэффициенты для истинного состояния равновесия можно определить из условий минимизации потенциальной или дополнительной энергии, т. е.

Если то или приводят к системе линейных уравнений относительно коэффициентов Подставляя значения этих коэффициентов в вышеуказанное выражение, получим приближенное решение задачи. Следует отметить, что полученное таким образом решение задачи является точным, если взятое выражение включает полную последовательность функций, т. е. последовательность измеримых функций класса С, где произвольная функция из этого класса может быть аппроксимирована с заданной точностью при помощи линейной комбинации конечного числа этих функций. Однако в большинстве случаев удается принять во внимание только конечное число коэффициентов

В качестве примера рассмотрим нестесненное кручение призматических брусьев. Учитывая, что при кручении из формулы (4.36) в брусе длиною а получим накопленную величину энергии деформации

где площадь поперечного сечения бруса.

На основании (7.14) последняя формула примет вид

На боковой поверхности бруса заданные поверхностные силы равны нулю, поэтому работа на этой поверхности обращается в нуль, а на обоих торцах его она будет

Здесь на основании формул (7.1) при имеем при имеем а на основании формул (2.22), с учетом того, что при имеем Тогда вместо (8.23) будем иметь

Последнему выражению придадим вид

откуда при помощи формулы Гаусса — Остроградского получим

где контур области, занятой поперечным сечением бруса.

Таким образом, дополнительная энергия на основании ее определения будет

В силу (7.16) на контуре I имеем с другой стороны, эту постоянную можно взять равной нулю; тогда окончательно будем иметь

Возьмем брус прямоугольного сечения со сторонами Учитывая, что функция напряжений Прандтля на сторонах должна быть равной нулю и симметричной относительно в ее выражение включим только члены с четными степенями т. е.

В первом приближении возьмем выражение

Подставляя (8.25) в формулу (8.24), найдем

откуда

Так как для истинного состояния равновесия дополнительная энергия должна принимать минимальное значение, то

откуда

С помощью формулы (7.19) определим крутящий момент

Максимальное касательное напряжение действующее посредине длинной стороны будет

Подставив значение из (8.27) в формулу (8.28), найдем

На основании формул (8.26) и (8.27) для жесткости бруса при кручении будем иметь

В случае бруса квадратного сечения приближенное решение дает значение жесткости и Тшях в то время как точные значения их будут погрешность соответственно составляет — 1,2% и —6,2%.

Теперь функцию напряжений возьмем в виде

Тогда

Из условия минимизации дополнительной энергии

приходим к линейной системе трех уравнений

Для случая найдем

Тогда

Теперь погрешности соответственно составляют —0,18% и

Из приведенных числовых примеров явствует, что при возрастании числа неизвестных коэффициентов точность решения повышается. Если точное решение задачи неизвестно, то единственный путь, который позволяет получить ориентировочное представление о точности решения, состоит в последовательном увеличении числа неизвестных коэффициентов и сравнении окончательных результатов. Если результаты быстро сходятся, то можно аппроксимацию считать удачной.