§ 41. Обобщенное плоское напряженное состояние

Теперь допустим, что пластинка высотой нагружена по боковой поверхности внешними силами, параллельными основаниям и симметрично распределенными относительно средней плоскости; основания пластинки примем свободными от внешних сил. Кроме того, будем считать, что составляющая массовой силы, перпендикулярная средней плоскости пластинки, равна нулю, а две другие составляющие распределены симметрично относительно средней плоскости пластинки. Возникающее в такой пластинке напряженное состояние называется обобщенным плоским напряженным состоянием; оно часто встречается в приложениях и является важным для практики случаем.

По условию, на основаниях

а на боковой поверхности пластинки кроме того,

Из третьего дифференциального уравнения равновесия

учитывая условия (6.15), при будем иметь

Следовательно, при обращается в нуль не только величина но и ее производная по координате поэтому при достаточно малой толщине пласгинки величина будет очень малой и мы можем считать во всей пластинке.

В силу симметрии очевидно, что проекция вектора перемещения любой точки средней плоскости на ось равна нулю и является нечетной функцией относительно поэтому ее среднее значение и — 0, Будем также считать, что изменения проекций по толщине пластинки малы, поэтому вместо величин можно рассматривать их средние значения по толщине, которые определяются формулами

Умножим обе части системы дифференциальных уравнений равновесия (2.25) на и проинтегрируем по координате от до тогда, в силу условий (6.15),

Окончательно получим (помня, что

где

представляют собой средние значения величин по толщине пластинки.

Из определения плоского напряженного состояния вытекает, что четные функции нечетные. Следовательно, средние значения равны нулю и уравнение (6.18) является тождеством.

Осредняя значения данных на боковой поверхности пластинки внешних сил по ее толщине на контуре какого-либо сечения, параллельного основаниям (или на контурах, если сечение многосвязное), будем иметь

где

Из формул закона Гука (6.13), переходя к средним значениям и учитывая, что стзз получим

где введено обозначение

Соотношения (6.20) между средними значениями компонентов тензора напряжений и производными средних значений

перемещений и при обобщенном плоском напряженном состоянии отличаются от соотношений (6.3) при плоской деформации только тем, что вместо упругой постоянной Ляме участвует постоянная Дифференциальные уравнения равновесия (6.17) и контурные условия (6.19), которым должны удовлетворять полностью совпадают с дифференциальными уравнениями равновесия (6.5) и контурными условиями (6.12) при плоской деформации. Следовательно, для плоского обобщенного напряженного состояния уравнения равновесия Ляме и соотношения Бельтрами — Митчелла для осредненных величин будут записываться так же, как при плоской деформации (6.6) и (6.11), с той лишь разницей, что вместо будет фигурировать

Таким образом, приходим к весьма важному выводу, что различные по существу задачи плоской теории упругости — плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние — математически идентичны.