ГЛАВА V. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 32. Уравнения упругого равновесия и движения в перемещениях

Уравнениями (4.1), связывающими тензоры напряжений и деформаций, замыкается система основных уравнений (2.24), (3.26) теории упругости, имеет место система девяти уравнений

Здесь неизвестными являются шесть компонентов тензора напряжений и три перемещения . С помощью формул (3.26) через вычисляются компоненты тензора малой деформации

Система уравнений (5.1) и (5.2) содержит одновременно и компоненты вектора перемещения, и компоненты тензора напряжений. Чтобы получить уравнения равновесия или движения в перемещениях, из (5.2) определяем

Здесь коэффициенты при вторых производных неизвестных функций являются функциями первых производных от этих функций.

В результате имеем систему трех нелинейных уравнений в частных производных второго порядка относительно трех функций и трех независимых переменных в случае равновесия и четырех независимых переменных и времени в случае динамического приложения сил. Эти уравнения не приводим ввиду их сложности. Их удобнее составлять непосредственно в каждой конкретной задаче.

В случае, когда имеет место закон вида (4.6), коэффициенты будут представлять собой упругие постоянные и дифференциальные уравнения составят систему трех линейных уравнений с переменными коэффициентами, когда тело неоднородное, и с постоянными коэффициентами, когда тело однородное.

Для изотропного однородного линейно-упругого тела будем иметь

Подставляя выражения этих частных производных в уравнения (5.1), найдем

Полученные уравнения движения в перемещениях, содержащие три функции называются дифференциальными уравнениями Ляме. Система уравнений (5.4) эквивалентна дифференциальному уравнению в векторной форме

которое получится из уравнений (5.4), если каждое из них умножить на а затем просуммировать по индексу учитывая, что При этом для упругого равновесия вместо системы уравнений (5.4) и уравнения (5.5) будем иметь

Для случая, когда на тело действуют только поверхностные силы, т. е. когда объемная сила равна нулю, уравнения (5.6) примут вид

Продифференцируем (5.8) по и сложим по индексу

Тогда

откуда

Таким образом, в случае отсутствия массовых сил относительная объемная деформация является гармонической функцией.

Действуя оператором на обе части (5.8), получим

Учитывая, что будем иметь

т. е. вектор перемещения является бигармонической функцией.

Сложим формулы обобщенного закона Гука тогда

где — сумма нормальных напряжений, действующих в трех взаимно перпендикулярных площадках. Так как гармоническая функция, то в силу также является гармонической функцией.

Действуя оператором на обе части каждой из формул обобщенного закона Гука для изотропного и однородного тела и учитывая, что относительная объемная деформация есть гармоническая функция, суть бигармонические функции, приходим к выводу, что компоненты напряжения также суть бигармонические функции.

Подставим выражение, определяемое формулой (4.56), в дифференциальные уравнения (5.1), тогда

Эти дифференциальные уравнения называются термоупругими уравнениями Дюгамеля — Неймана.

Следует отметить, что упругие постоянные являются функциями температуры и, как установлено экспериментами, при повышении температуры обычно уменьшаются. Для случая, когда градиенты температуры в теле не слишком велики, можно считать постоянными.

Система дифференциальных уравнений (5.10) содержит три неизвестных функции так как изменение температуры предполагается известным; последнее определяется следующим образом: пусть в теле происходит изменение температуры, зависящее от координат его точки и времени Допустим, что тело термически изотропно и однородно; кроме того, коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость с не зависят от изменения температуры. Это допущение при не слишком больших разностях температуры вполне оправдывается. В этом случае функция должна во всем теле удовлетворять уравнению теплопроводности Фурье

где оператор Лапласа; удельный вес, а — температуропроводность, количество тепла в единице объема, выделяемое или поглощаемое за единицу времени источником тепла, расположенным в данной точке тела.

В случае стационарного температурного состояния тела уравнение (5.11) приводится к уравнению Пуассона

Если тело не содержит источников тепла, то получим уравнение Лапласа

т. е. температура будет гармонической функцией.

Для полного определения функции нужно задать соответствующие граничные, а в случае нестационарного температурного состояния еще и начальные условия. Предполагается, что искомая функция и ее частные производные непрерывны вплоть до поверхности тела. Начальным значением может быть любая, непрерывная или разрывная, наперед заданная функция т. е.

В простейшем случае граничным условием служит задание температуры на поверхности рассматриваемого тела в виде функции координат и времени

в любой момент времени

На границе можно также задать поток тепла через поверхность тела

где количество тепла, втекающее или вытекающее через единицу площади поверхности тела за единицу времени.

Наконец, согласно закону охлаждения Ньютона, условие на поверхности тела может быть также задано в виде

Здесь температура среды; — коэффициент относительной теплопередачи; коэффициент теплоотдачи.

В случае совместного рассмотрения задачи теплопроводности и термоупругости мы имеем дело с обобщенным уравнением теплопроводности

Здесь — вектор упругого перемещения;

теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме; — коэффициент линейного расширения.

Обобщенное уравнение теплопроводности (5.18) отличается от обычного (5.11) при присутствием добавочного слагаемого

может быть получено из первого закона термодинамики. Идея такой постановки задачи принадлежит известному русскому физику Я. А. Умову, который сформулировал ее в в работе «Теория термомеханических явлений в твердых упругих телах». При таком подходе решение задачи термоупругости сводится к совместному решению обобщенного уравнения теплопроводности с уравнениями движения и совместности деформаций при соответствующих начальных и граничных условиях для температуры и напряжений. В такой постановке задача реализуется тогда, когда, помимо температурных полей, на тело действуют быстро изменяющиеся внешние силы, которые могут вызвать в теле довольно существенное перераспределение температурных полей, что в свою очередь может повлечь к перераспределению напряжений. В тех случаях, когда температурные напряжения возникают в теле только за счет нагрева, подводимого к нему извне, в обобщенном уравнении теплопроводности можно пренебречь слагаемым.

Тогда из задачи термоупругости выделяется отдельная задача теплопроводности. Совершенно ясно, что во всех статических задачах слагаемое и обращается в нуль, поэтому здесь задачи термоупругости и теплопроводности решаются раздельно.

Вышеизложенным способом из (2.30) и закона Гука (4.35) с учетом формул (3.29), (3.30) легко получить дифференциальные уравнения движения в перемещениях в цилиндрической системе координат. Они таковы:

где

Также из (2.31) и (4.35) с учетом формул (3.33) и (3.34) получим дифференциальные уравнения движения в перемещениях в сферической системе координат. Они имеют вид:

Для осесимметрической задачи уравнения (5.19) примут вид

ибо не зависят от координаты . В силу последнего обстоятельства и

Для случая равновесия и когда уравнения (5.23) приводятся к виду

Отсюда

Определив решение этого уравнения, с помошью одного из уравнений (5.25) найдем также Тогда для определения из (3.30) и (5.24) получим дифференциальные уравнения вида

Отсюда

Найдя решение последнего уравнения, с помощью одного из уравнений (5.25) найдем также

Для осесимметричной задачи уравнения движения в сферической системе координат примут вид

где

так как