§ 44. Комплексное представление бигармонической функции, компонентов вектора перемещения и тензора напряжений

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвилн. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости.

В § 32 было показано, что для изотропного однородного тела, когда отсутствуют массовые силы, объемная деформация является гармонической функцией; в случае плоской деформации имеем

Комплексное представление решений этого уравнения проще всего получить, если записать его в комплексной форме

что непосредственно получается из (6.59) введением новых независимых комплексных переменных вместо переменных где

Из уравнения (6.60) получим, что гармоническая функция в некоторой области плоскости комплексного переменного может быть представлена в виде

где аналитическая функция переменного

Умножив второе уравнение (6.6) на мнимую единицу и сложив с первым, с учетом получим

Учитывая, что

предыдущее уравнение запишем в комплексной форме

Интегрируя это равенство по аргументу получим

где некоторая также аналитическая функция переменного

Переходя в (6.62) к сопряженным выражениям, будем иметь

Сложив равенства (6.62) и (6.63) и учитывая наряду с соотношением

также выражение (6.61), найдем

откуда

здесь с — вещественная постоянная.

Подставляя последнюю формулу, а также формулу (6.61) в равенство (6.62), после интегрирования полученного результата будем иметь

где — аналитическая функция аргумента

Отбрасывая слагаемое дающее только жесткое перемещение, получаем важную формулу комплексного представления перемещения при плоском деформированном состоянии тела

Эта формула выражает также перемещение в случае обобщенного ллоокого напряженного состояния тонкой пластинки, если вместо взять величину определяемую соотношением

Так как

Теперь перейдем к выводу формул комплексного представления компонентов напряжений при помощи той же пары аналитических функций . С этой целью запишем формулы обобщенного закона Гука (6.3) в комплексной форме следующим образом:

Учитывая (6.61) в первой формуле (6.68) и равенство (6.67) во второй формуле (6.68), получим существенно важные соотношения, дающие комплексное представление компонентов тензора напряжений при плоском деформированном состоянии среды

Формулы (6.67), (6.69) получили широкое распространение в

плоской теории упругости, они удобны еще потому, что свойства фигурирующих в них аналитических функций хорошо изучены.

Выразим теперь функцию напряжений через те же аналитические функции

Из формул (6.24) имеем

Из этих формул, учитывая (6.69), получим

Интегрируя первое уравнение по а второе по найдем

Из сравнения этих равенств будем иметь

Отсюда

и, следовательно,

откуда

Учитывая, что вторые производные функции напряжений (6.24) являются вещественными величинами, сама функция должна быть вещественной с точностью до Исходя из сказанного в выражении (6.70) необходимо положить

где — произвольные комплексные постоянные. Если принять что не скажется на напряженном состоянии, то формула комплексного представления функции напряжения Эри окончательно примет вид

или

Здесь символ означает, что нужно взять действительную часть выписанного после него выражения.

Выведем в комплексной форме выражение для главного вектора сил, действующих со стороны положительной нормали на некоторую кривую (рис. 20), взятую внутри среды в плоскости деформации Подставим в соотношении (6.12) формулы (6.24), выражающие компоненты тензора напряжений через производные функции и учтем, что

Тогда получим

Используя эти формулы, составим выражение вида

Обозначая через компоненты названного главного вектора, из предыдущей формулы найдем

где символ а обозначает приращение выражения, заключенного в скобки, вдоль кривой

В силу (6.71), а также соотношения из предыдущей формулы получим комплексное представление главного вектора сил, действующих на кривую

Главный момент сил, приложенных к кривой со стороны положительной нормали, относительно начала координат равен

Рис. 20

Из последнего равенства, учитывая (6.73) и выполнив интегрирование по частям, получим

Очевидно, что

С другой стороны, в силу формулы (6.71) имеем

Это равенство вместе с (6.72) позволяет придать формуле (6.75) требуемое комплексное представление главного момента