§ 73. Вариационный принцип Рейсснера

В § 71 и 72 нами были изложены два хорошо известных в теории упругости вариационных принципа: принцип минимума потенциальной энергии, который также называется принципом возможных перемещений, и принцип минимума дополнительной работы, на который ссылаются как на принцип Кастильяно,

Рейсснером предложен вариационный принцип, также позволяющий находить приближенные решения задач теории упругости. В этом принципе варьируются независимо друг от друга и тензор напряжений, и перемещения.

Вариационный принцип Рейсснера заключается в том, что вариационное уравнение

где функционал Рейсснера,

эквивалентно системе шести соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций

трем уравнениям равновесия (в целях упрощения массовые силы не учитываются)

и граничным условиям

Здесь сумма тех частей поверхности, на которых заданы силы остальная часть поверхности, на которой заданы перемещения

Для доказательства этого принципа используем известные соотношения

Тогда из (8.29) и (8.30) получим

Используя формулу Гаусса — Остроградского, будем иметь

Учитывая, что получим

Здесь в первом и во втором подынтегральных выражениях суммирование производится по индексу а в третьем — по индексам

В силу последнего соотношения будем иметь

Последний интеграл равен нулю, так как по условию на

Поскольку вариации перемещений и напряжений произвольны и независимы, вследствие основной леммы вариационного исчисления мы заключаем, что из написанного условия следует равенство нулю множителей при соответствующих вариациях как в объемном, так и в поверхностном интеграле, т. е. уравнения (8.31), (8.32) и граничные условия (8.33), (8.34).