§ 56. Некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье

Интегральное преобразование Фурье представляет собой эффективный метод решения задач теории упругости, когда тело является бесконечным или полубесконечным. Приведем без доказательства несколько результатов, относящихся к интегральным преобразованиям Фурье.

1. Преобразованием Фурье некоторой функции заданной в промежутке называется интеграл

где произвольное вещественное число.

Для существования преобразования Фурье достаточно предположить, что функция абсолютно интегрируема в интервале

Для функции удовлетворяющей также условиям Дирихле в любом конечном промежутке, в точках непрерывности справедлива формула обращения Фурье

выражающая функцию через ее интегральное преобразование Фурье. В точках разрыва правая часть равенства (6.217) дает величину

Для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле в любом открытом промежутке и абсолютно интегрируемых в интервале имеет место

Функция

называется сверткой функций в интервале

Теорема. Если являются преобразованиями Фурье функций т. е.

то преобразование Фурье произведения равно свертке функций Действительно, полагая, что изменение порядка интегрирования справедливо, можем написать

Отсюда

Теорема. Преобразование Фурье функции равно преобразованию Фурье функции умноженному на если при

Согласно определению преобразования Фурье

Интегрируя левую часть частям, найдем

Так как при то будем иметь

Интегрируя теперь левую часть (6.222) по частям, имеем

Повторяя это действие, при условии, что при получаем окончательно

С учетом (6.221) последнее равенство примет вид (6.220).

2. Кратные преобразования Фурье. Теорию преобразования

Фурье функций одной переменной можно распространить на функции нескольких переменных. Предположим, например, что -функция двух независимых переменных тогда функция рассматриваемая как функция от имеет преобразование Фурье

функция рассматриваемая как функция от преобразование Фурье

Из выражений (6.223) и (6.224) видим, что связь между функциями имеет вид

Функция -двумерное преобразование Фурье функции На основании (6.217) функцию можно выразить через при помощи следующей формулы

Аналогично из выражения (6.224) находим, что

Из соотношений (6.226) и (6.227) следует формула, называемая формулой обращения для двумерного преобразования Фурье

Распространение этой формулы на функции большого числа переменных очевидно.

Пусть тогда -мерное преобразование Фурье этой функции будет

Для этого случая формула обращения имеет вид

Составим теперь на основании (6.228) для произведения функций формулу обращения Фурье,

Отсюда в силу формулы (6.225) будем иметь

Учитывая здесь (6.228), получим формулу свертки

В качестве -мерного аналога формулы (6.230) получим