Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при помощи простого геометрического образа. Для этого нам понадобится ввести в рассмотрение произвольные криволинейные координаты. По отношению к этим координатам и будет дано определение вектора, а впоследствии тензора, как некоторого объекта, не меняющегося при изменении системы координат.

Преимущество тензорного исчисления в механике сплошной среды обнаруживается особенно тогда, когда мы оперируем с произвольными системами координат, В дальнейшем ограничимся рассмотрением трехмерного евклидова пространства, в котором положение каждой точки определяется тремя числами — координатами. Здесь мы приведем основные сведения из тензорного исчисления. Их изложение не претендует на полноту и строгость; дается сводка определений и формул, на которые в дальнейшем будут делаться ссылки.

Обозначим криволинейные координаты какой-либо точки через и введем новые координаты этой точки связанные со старыми соотношениями

которые называются формулами преобразования координат.

Допустим, что все функции в рассматриваемой области изменения координат однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка, а также якобиан отличен от нуля. Тогда из (1.1) найдем преобразование координат, обратное преобразованию (1.1)

Если фиксировать какие-нибудь две из трех координат и изменять третью непрерывно, то получим линию, которая называется координатной линией. Мы будем считать, что в каждой точке пространства проходят три координатных линии, не лежащие

в одной плоскости. Можно доказать, что это требование всегда выполняется, если якобиан преобразования (1.1) отличен от нуля.

В частном случае, при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат к другой вместо (1,1) будем иметь

где косинусы углов между осями систем координат

Условимся для краткости записи здесь и в дальнейшем в (1.3) опускать знак суммы, считая, что суммирование должно быть произведено по повторяющемуся индексу от до Мы также больше не будем указывать, что имеем три формулы . Соотношения (1.3) запишутся при этом в виде

Преобразование вида (1.4) называется аффинным ортогональным.