Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при помощи простого геометрического образа. Для этого нам понадобится ввести в рассмотрение произвольные криволинейные координаты. По отношению к этим координатам и будет дано определение вектора, а впоследствии тензора, как некоторого объекта, не меняющегося при изменении системы координат.
Преимущество тензорного исчисления в механике сплошной среды обнаруживается особенно тогда, когда мы оперируем с произвольными системами координат, В дальнейшем ограничимся рассмотрением трехмерного евклидова пространства, в котором положение каждой точки определяется тремя числами — координатами. Здесь мы приведем основные сведения из тензорного исчисления. Их изложение не претендует на полноту и строгость; дается сводка определений и формул, на которые в дальнейшем будут делаться ссылки.
Обозначим криволинейные координаты какой-либо точки через
и введем новые координаты этой точки
связанные со старыми соотношениями
которые называются формулами преобразования координат.
Допустим, что все функции
в рассматриваемой области изменения координат
однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка, а также якобиан отличен от нуля. Тогда из (1.1) найдем преобразование координат, обратное преобразованию (1.1)
Если фиксировать какие-нибудь две из трех координат и изменять третью непрерывно, то получим линию, которая называется координатной линией. Мы будем считать, что в каждой точке пространства проходят три координатных линии, не лежащие
в одной плоскости. Можно доказать, что это требование всегда выполняется, если якобиан преобразования (1.1) отличен от нуля.
В частном случае, при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат
к другой
вместо (1,1) будем иметь
где
косинусы углов между осями систем координат
Условимся для краткости записи здесь и в дальнейшем в (1.3) опускать знак суммы, считая, что суммирование должно быть произведено по повторяющемуся индексу от
до
Мы также больше не будем указывать, что имеем три формулы
. Соотношения (1.3) запишутся при этом в виде
Преобразование вида (1.4) называется аффинным ортогональным.