§ 34. Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения

На практике наиболее широкое распространение имеют следующие случаи загруженкя и закрепления тел: 1) заданы силы, приложенные на поверхности тела; 2) заданы перемещения точек его поверхности; 3) на одной части поверхности заданы перемещения, а на другой — внешние силы. В связи с этим различают три типа основных граничных задач статики упругого тела.

Первая основная граничная задача состоит в нахождении в области, занятой телом, трех проекций вектора перемещения и шести компонентов тензора напряжений, которые должны быть непрерывными вплоть до поверхности тела функциями координат и удовлетворять уравнениям (5.1) и (5.2), а на поверхности его еще следующим условиям:

где проекции заданных сил, действующих на поверхности тела.

Вторая основная граничная задача состоит в нахождении такого решения уравнений (5.1) и (5.2), которое на поверхности тела удовлетворяет граничным условиям

где проекции заданного вектора перемещения точек поверхности тела.

Третья основная задача состоит в определении такого решения уравнений (5.1) и (5.2), которое на одной части удовлетворяет условиям (5.38), а на другой — условиям (5.39). Кроме этих задач

встречаются и другие задачи, также имеющие прикладное значение. На некоторых из них мы в дальнейшем остановимся.

Для задач термоупругости, в которых, помимо температур, действуют также поверхностные силы, граничные условия (2.22) принимают вид

Уравнения (5.10) и (5.40) показывают, что вектор упругого перемещения и в теле будет таким, какой возникает, если на тело, кроме массовых и поверхностных сил, будут действовать еще силы приложенные в каждой точке его и отнесенные к единице объема, а на поверхности — давление

Доказательство существования решения указанных задач представляет трудную проблему математического анализа. Однако в настоящее время разрешимость всех краевых задач теории упругости установлена при весьма общих условиях. Принимая существование решений упомянутых граничных задач, перейдем к доказательству их единственности.

Допустим, что одна из указанных основных граничных задач имеет два решения: Очевидно, разность этих решений

при отсутствии массовых сил должна удовлетворять основным уравнениям статики упругого тела (5.1), (5.2). В силу этого для имеет место формула (4.62)

В случае первой основной граничной задачи для решения, составленного из разности двух решений данной задачи, на поверхности тела так как оба решения должны удовлетворять условиям (5.38) при одних и тех же силах, заданных на поверхности этого тела.

В случае второй основной граничной задачи для решения, составленного из разности двух решений данной задачи, аналогично предыдущему случаю, на поверхности тела будем иметь

Наконец, в случае смешанной задачи на одной части поверхности а на другой

Таким образом, во всех трех основных граничных задачах подынтегральная функция на поверхности тела равна нулю, т. е.

поэтому во всех трех случаях

Учитывая, что А есть положительная квадратичная форма, из (5.42) получим

Как следует из (4.36), это, в свою очередь, возможно при Отсюда заключаем, что или, на основании обобщенного закона Гука Следовательно, оба решения дают одинаковое напряженное или деформированное состояние.

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения.

В этом параграфе мы доказали, что система (5.1), (5.2) при заданных внешних силах однозначно определяет напряженное или деформированное состояние тела. В приведенном доказательстве теоремы единственности решения упомянутых граничных задач, которое дано Кирхгофом, тело может быть принято как односвязным, так и многосвязным.