§ 78. Задача Герца о давлении двух соприкасающихся тел

Допустим, что два однородных изотропных тела с различными упругими постоянными соприкасаются в точке , которую примем за начало прямоугольной декартовой системы координат Расположим оси в плоскости, касательной к обоим телам в точке о, а оси совместим соответственно с внутренними нормалями поверхностей этих тел (рис. 40). Относительно этих систем координат уравнения поверхностей соприкасающихся

тел до их деформации будут

Уравнения (9.34) поверхностей тел вблизи точки их касания (точка предполагается регулярной) с достаточной степенью точности можно представить в виде

Расстояние между двумя точками соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали к касательной плоскости определится, согласно последним соотношениям, формулой

Здесь введены следующие обозначения:

Квадратичная форма определяющая расстояние между указанными точками должна быть положительной при любом выборе осей и мы можем оси выбрать так, чтобы коэффициент обращался в нуль. Тогда, введя обозначения будем иметь

Следовательно, коэффициенты будут положительными.

Обозначим через главные радиусы кривизны в точке касания для первого тела, а через и для второго тела. Если считать их положительными, то

Рис. 40

Из (9.36) делаем вывод, что кривые равных расстояний между двумя точками обеих соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали к касательной плоскости будут концентрическими эллипсами.

Допустим, что оба тела прижаты друг к другу силой направленной по нормали к касательной плоскости в точке о, тогда вблизи этой точки тела будут соприкасаться по малой поверхности. Эта поверхность называется поверхностью давления, а ее контур — контуром давления. Проекцию поверхности давления на касательную плоскость называют областью контакта. Можно с достаточной степенью точности допустить, что тела при сжатии приходят в соприкосновение в точках, лежащих до деформации на одной нормали к плоскости Тогда из (9.36) видно, что поверхность давления имеет эллиптическое очертание.

В результате сжатия двух тел любые две точки, лежащие на осях на столь больших расстояниях от точки о, что деформациями в них можно пренебречь, сблизятся на некоторую величину а, равную сумме перемещений точки о.

Обозначим через соответственно перемещения точек обеих соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали к плоскости в направлениях осей Расстояние между двумя такими точками уменьшится на величину, равную Таким образом, для всех точек поверхности давления имеет место соотношение

а для точек вне поверхности давления должно быть

Учитывая соотношение (9.36) в формуле (9.37), найдем

Для определения упругих перемещений и напряжений в области контакта обоих тел будем считать, что поверхность давления очень мала и оба тела можно заменить полупространствами. На эти полупространства по области контакта действует нормальное давление ; силами трения по поверхности давления будем пренебрегать, т. е. будем считать, что касательные напряжения в области контакта отсутствуют.

Используя в (9.38) формулу (9.33), получим

здесь упругие постоянные Ляме соответственно первого и второго тел; суть известные положительные величины, определяемые по формам соприкасающихся поверхностей.

Итак, решение контактной задачи Герца сводится к определению давления сближения тел а, а также размеров и формы области контакта . В уравнении (9.39) значение сходящегося несобственного интеграла представляет собой потеициал простого слоя распределенного с плотностью но области контакта. Этот потенциал в точках области контакта, согласно (9.39), представляет квадратичную функцию координат. С другой стороны, известно, что потенциал во внутренних точках однородного эллипсоида

является квадратичной функцией координат точки и имеет вид

Сопоставляя эти факты, Герц заключает, что правая часть формулы (9.39) может быть принята за потенциал однородного эллипсоида, толщина которого в направлении оси стремится к нулю а плотность пропорционально возрастает, так что масса эллипсоида остается неизменной. Тогда область контакта эллипс, в который вырождается эллипсоид при и имеет место соотношение

Плотность простого слоя будет равна массе, которая заключена в призме с единичным основанием и высотой

т. е. для контактных давлений получим

Сила прижимающая тела, на основании законов статики может быть получена, очевидно, как равнодействующая всех усилий но области контакта Следовательно, по величине она равна массе всего эллипсоида, т. е.

Исключая теперь из формул (9.41) и величину окончательно получим

Из равенства (9.40) находим

Определив из первых двух уравнений полуоси из третьего уравнения найдем о. В общем случае определение связано с вычислением эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода.

Если оба соприкасающихся тела являются шарами, то вычисления упрощаются. В этом случае где и радиусы шаров. Учитывая, что на основании формул (9.44) и (9.45) имеем (поверхность давления — круг); следовательно, формула (9.44) примет вид

Обозначив найдем

или

Отсюда

т. е. радиус круга давления пропорционален кубическому корню из силы

Из формул (9.43) и (9.46) соответственно имеем

или

В случае двух одинаковых шаров имеют место равенства

Тогда на основании формул (9.47) и (9.49) будем иметь

Если второе тело представляет собой полупространство то

При вдавливании силой упругого шара в абсолютно жесткую плоскость имеем

Давление определяется во всех этих случаях по формуле (9.48).