§ 58. Решение бигармонического уравнения для невесомой полуплоскости

Для решения плоской задачи теории упругости в случае отсутствия массовых сил, как было установлено в § 42, приходится интегрировать двумерное бигармоническое уравнение (6.26). Решение этого уравнения приведем для полуплоскости, ограниченной прямой. Пусть эта полуплоскость в прямоугольной системе координат занимает область

Умножим (6.26) на и проинтегрируем по переменной от до тогда

На основании формулы (6.220) равенству (6.237) придадим вид

или

где

Корни характеристического уравнения дифференциального уравнения (6.238) равны

Тогда общее решение (6.238) будет иметь вид

Для получения ограниченного решения необходимо положить при этом

Коэффициенты определяются граничными условиями задачи. По формуле обращения Фурье (6.217) и (6.239) найдем

Таким образом, функцию напряжений можно получить квадратурой.

Умножим формулы Эри (6.24) на и проинтегрируем по аргументу от до учитывая формулы (6.216), (6.220) и (6.239), найдем

Из (6.242), (6.243) и (6.244) по формуле обращения Фурье получим

Этим методом решим две задачи.

1. Полуплоскость, к границе которой приложена распределенная сила. Примем ось за границу полуплоскости и направим ось внутрь этой полуплоскости. Допустим, что на границе заданы и на полуплоскость не действуют массовые силы. Будем считать, что при компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. В решении (6.240) интегральные постоянные определятся из граничных условий

Умножим эти условия на и проинтегрируем по переменной тогда при будем иметь

Подставляя (6.240) в (6.242) и (6.244), из граничных условий (6.246) найдем

Учитывая (6.247) в (6.240) и подставляя полученный результат в формулы (6.245), найдем

Рис. 26

Рис. 27

Если, в частности, на границе давление равномерно распределено на участке — (рис. 26), то на основании формулы (6.246) будем иметь

Учитывая четность функции (6.249) по формулы (6.248) перепишем в виде

Вычисляя теперь эти интегралы, найдем компоненты тензора напряжений

где, согласно рис. 26,

2. Полуплоскость, к границе которой приложена сосредоточенная сила. Рассмотрим распределение напряжений в полуплоскости (рис. 27), к границе которой в начале координат приложена в направлении оси сосредоточенная сила а массовые силы отсутствуют. Решение этой задачи может быть получено из решения (6.248), если в формуле (6.249) предположить, что и Тогда

Учитывая (6.251) в формулах (6.248), после вычислений интегралов найдем

где

При компоненты тензора напряжений беспредельно возрастают. Вычислим нормальное и тангенциальное напряжения в площадке, перпендикулярной к радиусу-вектору. Возьмем за повернутые оси координат оси, совпадающие с направлениями нормали и касательной к данной площадке (рис. 27). На основании формул (1.13)

и таблицы находим

Вводя обозначения получим формулы