§ 85. Граничные условия

Установим граничные условия для прямоугольной пластинки при некоторых способах закрепления ее краев; оси и 2 направим параллельно краям пластинки.

а. Защемленный край. Если край пластннки защемлен, то прогиб в точках этого края равен нулю и плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной плоскостью пластинки до изгиба

б. Шарнирно-опертый край. Если край пластинки оперт и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибающий момент на этом крае должны быть равны нулю

Так как вдоль края имеем то

Следовательно, граничные условия для шарнирно-опертого края будут

в. Свободный край. Если край свободен, то, на первый взгляд, нужно потребовать, чтобы вдоль него изгибающий момент крутящий момент и поперечная сила равнялись нулю

Таким образом, в этом случае получаются три граничных условия, тогда как в других их было два. Условия (11.14) были получены Пуассоном. Позже Кирхгофф показал, что для полного определения прогиба удовлетворяющего уравнению (11.11), достаточно двух граничных условий, так как два условия Пуассона, относящиеся к крутящему моменту и поперечной силе можно объединить в одно граничное условие. Следовательно, система краевых условий Пуассона (11.14) для уравнения Софи Жермен (11.11) является переопределенной.

Рис. 51

Рассмотрим по краю два примыкающих друг к другу элемента длины (рис. 51). Крутящий момент, приходящийся на элемент длины будет его можно заменить двумя поперечными силами, равными и действующими на расстоянии друг от друга; на рис. 51 эти силы показаны сплошными векторами. Для следующего элемента крутящий момент можно также заменить двумя поперечными силами они показаны пунктирными векторами. Таким образом, найдем, что распределение крутящих моментов статически эквивалентно распределению поперечных сил интенсивности

Такая замена на основании принципа Сен-Венана окажет влияние на напряженное состояние в непосредственной близости к кромке, но на остальной части пластинки напряженное состояние останется без изменений.

Следовательно, для свободного края пластинки в граничных условиях (11.14) вместо двух последних получим одно условие

На основании соотношений (11.6) и (11.10) для свободного края граничные условия (11.15) и можно выразить в виде

В случае пластинки с криволинейной кромкой направляем оси координат в точке кромки по нормали и по касательной как показано на рис. 52 и 53. Соотношения между определяются из условий равновесия элемента пластинки, изображенного на рис. 52 и 53,

Рис. 52

Рис. 53

При заделке криволинейной кромки пластинки

в случае же свободного опирания

Если кромка пластинки свободна, то

где слагаемое получается аналогично рис. 51.