§ 79. Симметричная деформация тела вращения

Пусть тело, представляющее собой тело вращения около оси деформируется под действием поверхностных сил (массовые силы отсутствуют) симметрично относительно этой оси вращения. Тогда перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости, проходящей через ось будет равно нулю, а две другие проекции не будут зависеть от полярного угла Для решения этой задачи удобно пользоваться цилиндрическими координатами Компоненты симметрического тензора деформаций в цилиндрической системе координат, согласно формулам (3.29), будут иметь вид

Подставим (9.50) в формулы закона Гука и выразим коэффициенты Ляме через ; тогда будем иметь

Если положить

то формулы (9.51) примут вид

где -функция напряжений.

Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум дифференциальным уравнениям равновесия (2.30), а третье уравнение принимает вид

При этом условии функции (9.53) тождественно удовлетворяют уравнениям совмеспности (5.37), Таким образом, задача симметричной деформации тела вращения сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям.

Приведем решение задачи о симметричной деформации сплошного круглого цилиндра, возникшей под действием сил, приложенных на его боковой поверхности и симметрично распределенных

относительно его оси. Для решения этой задачи определим из уравнения (9.54) функцию напряжений Очевидно, решение уравнения

будет также решением уравнения (9.54). Это решение можно взять в виде

Тогда из уравнения (9.55) для функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение

Учитывая, что одно из фундаментальных решений уравнения (9.57) обращается в бесконечность при будем интересоваться ограниченным решением, которое имеет вид

Ряд в скобках выражения (9.58) называется бесселевой функцией нулевого порядка с мнимым аргументом и обозначается символом тогда вместо (9.56) будем иметь

Производная от бесселевой функции по мнимому аргументу с отрицательным знаком называется бесселевой функцией первого порядка и обозначается символом Непосредственной проверкой легко установить, что имеет место соотношение

если

Учитывая, что функция является решением уравнения (9.57), придем к заключению, что функция является решением уравнения

Следовательно, решение уравнения (9.54) можно представить в виде

Таким образом, на основании (9.59) и (9.60), функцию напряжений можно представить в виде

Подставив эту функцию напряжений в формулы (9.52), найдем компоненты тензора напряжений; например, для будем иметь

где вполне определенные функции, выраженные через и которые здесь не приводятся.

На основании (9.62) граничные условия на боковой поверхности цилиндра будут

Соответствующим подбором постоянных можно изучить различные случаи симметричной относительно оси цилиндра нагрузки, действующей на его боковой поверхности. Напрнмер, для случая, когда на боковую поверхность цилиндра действуют нормальные давления касательные силы и когда длина цилиндра), из формул найдем

Отсюда получим значения постоянных с] и Если решение уравнения (9.54) взять в виде

то соответствующим подбором постоянных получим решение задачи, когда на боковую поверхность цилиндра действуют нормальные давления и касательные силы .

Таким образом, комбинируя решения (9.61) и (9.65) и пользуясь принципом сложения действия сил, мы можем получить любое симметричное относительно оси цилиндра распределение нормальных и касательных сил на его боковой поверхности. При этом на торцах цилиндра могут возникнуть некоторые силы, распределенные симметрично относительно оси цилиндра. Налагая на эти силы осевую растягивающую или сжимающую силу, всегда можем добиться того, чтобы равнодействующая всех сил обращалась в нуль. Согласно принципу Сен-Венана влиянием этих сил на напряженное состояние на некотором расстоянии от торцов можно пренебречь.

Теперь рассмотрим задачу об изгибе круглой пластинки постоянной толщины.

Известно, что в сферической системе координат в случае осевой симметрии битарионическое уравнение таково

Рассмотрим сначала уравнение Лапласа

и найдем его частные решения в виде

где целое положительное число.

Подставим (9.67) в (9.68), тогда

Замена независимой переменной приводит уравнение (9.69) к уравнению Лежандра

решение которого ищем в виде многочлена

Подставив это выражение в уравнение (9.70), Найдем

Отсюда

Следовательно,

Подставим это решение в (9.68). Учитывая, что

при получим следующие решения уравнения (9.67):

Здесь неизвестные постоянные коэффициенты. Эти решения являются, очевидно, также решениями уравнения (9.66).

Если является решением уравнения (9.67), то легко установить, что является решением уравнения (9.66). Действительно,

Подставим последнее соотношение в уравнение (9.66), тогда, учитывая, что является решением уравнения (9.67), будем иметь

последовательно, умножением решений (9.71) на получим решения уравнения (9.66), которые уже не будут решениями уравнения (9.67)

С помощью предыдущих решений рассмотрим различные случаи симметрично нагруженной круглой пластинки (рис. 41).

а) На основании (9.71) и (9.72) функцию напряжений представим в виде полинома третьей степени

Подставим эту функцию в формулы (9.53), тогда

Рис. 41

Таким образом, для функции напряжений (9.73) компоненты тензора напряжений являются постоянными по всей пластинке. Постоянные определятся, если на торцах и боковой поверхности пластинки соответственно заданы равномерно распределенные

б) Теперь при помощи (9.71) и (9.72) функцию напряжений представим в виде

На основании формул (9.53) получим

Если положить тогда

Постоянная 64 определится, если на боковой поверхности пластинки задано постоянное значение изгибающего момента Тогда

Данное условие является интегральным, но согласно принципу Сен-Венана найденное напряженное состояние будет достаточно точным в точках, удаленных от боковой поверхности пластинки.

Из последнего соотношения найдем

Тогда

Это решение представляет чистый изгиб пластинки моментами, равномерно распределенными по ее боковой поверхности.

в) Исходя из (9.71) и (9.72), возьмем функцию напряжений

Для этой функции напряжения таковы

К напряжениям прибавим равномерное в направлении оси растяжение тогда получим компоненты тензора напряжений, которые содержат четыре постоянных и

Пусть имеем граничные условия

интенсивность равномерной нагрузки.

Подставив в эти граничные условия выражения тензора напряжений, определим постоянные и Следовательно,

Напряжения на боковой поверхности пластинки дают изгибающие моменты равномерно распределенные по контуру.

Чтобы получить решение для свободно опертой пластинки, к компонентам тензора напряжений (9.75) прибавим напряжении чистого изгиба, и постоянную определим так, чтобы на боковой поверхности

Тогда

Выполнение условия (9.76) означает, что приложение чистого изгиба устраняет изгибающие моменты на боковой поверхности пластинки, при этом действуют напряжения равные

Учитывая, что главный вектор и главный момент напряжений равны нулю, на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что поле тензора напряжений будет достаточно точным в точках, удаленных от боковой поверхности.

Рис. 42

Рассмотрим кручение тела вращения. Пусть к основаниям тела вращения (рис. 42) приложены заданные усилия, удовлетворяющие условиям равновесия абсолютно твердого тела и приводящиеся к скручивающим парам. Массовые силы отсутствуют и боковая поверхность тела свободна от поверхностных сил.

Эту задачу решим в перемещениях в цилиндрических координатах, полагая, что благодаря осевой симметрии деформирования тела вращения, не будет зависеть от полярного угла и будет функцией только Так как из формул (3.29) находим

Подставим (9.78) в формулы закона Гука; тогда

Учитывая, что компоненты также не зависят от угла и массовые силы отсутствуют, из уравнений (2,30) получим

Последнему уравнению придадим вид

Решение уравнения (9.80) будет

Здесь функция называемая функцией напряжений, определится из уравнений совместности.

Условия совместности деформаций (3.40) с учетом (9.79) для данной задачи примут вид

С учетом (9.81) второе уравнение примет вид

Последнее удовлетворяется, если

Непосредственной проверкой легко убедиться, что при условии (9.82) первое уравнение удовлетворяется тождественно. Таким образом, условие совместности деформаций для данной задачи имеет вид (9.82),

Граничное условие для функции определится из следующего рассуждения. В силу того, что боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил, сумма проекций касательных напряжений действующих в точках границы осевого сечения на нормаль к границе (рис, 42), должна обращаться в нуль, т. е.

Согласно рис. 42 имеем

где элемент дуги границы.

Подставляя (9.81) и (9.84) в граничное условие (9.83), найдем

откуда или

Величина крутящего момента связана с функцией соотношением

Если тело вращения имеет форму конуса (рис. 43), то на поверхности его имеет место соотношение

Рис. 43

Очевидно, любая функция аргумента, представляющего собой левую часть (9.86), будет величиной постоянной на поверхности конуса. Попытаемся функцию напряжений искать в виде

где неизвестные постоянные.

На основании вышесказанного эта функция на поверхности конуса удовлетворяет условию Функция (9.87) удовлетворяет уравнению (9.82), если принять

Таким образом,

Постоянную А определяем из (9.85)

Согласно формулам (9.81) касательные напряжения будут