§ 5. Параллельное векторное поле

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат.

Если скалярная функция параметр), то в новых координатах следовательно,

или

откуда видно, что производная скалярной функции по параметру снова является скаляром.

Определение ковариантной производной вектора и тензора будет дано в § 6. Предварительно займемся исследованием параллельного векторного поля.

Пусть координаты произвольной точки находящейся на рассматриваемой кривой, являются функциями параметра . В каждой точке этой кривой построим вектор, равный вектору, заданному в точке Таким образом, вдоль кривой будет иметь параллельное векторное поле. Выведем уравнения, которым должно удовлетворять это поле.

Обозначим компоненты вектора рассматриваемого поля в системе координат через в декартовой системе координат через . В декартовой системе координат компоненты параллельных векторов постоянны вдоль кривои и, следовательно,

По определению вектора

Дифференцируя по параметру последнее равенство, будем иметь

После умножения уравнений (1.66) на и суммирования по индексу от 1 до 3, используя (1.39) и (1.37), найдем

Продифференцировав равенства (1.39) по кроме того, будем иметь

В равенствах (1.68) дважды производим круговую перестановку индексов и из суммы полученных таким образом равенств вычитаем (1.68). Тогда найдем

дхдхп

Подставляя (1.69) в (1.67), будем иметь

Таким образом, параллельное векторное поле вдоль заданной кривой должно удовлетворять дифференциальным уравнениям (1.70).

Возьмем какой-либо вектор в данной точке пространства и построим во всех точках этого пространства параллельные ему векторы. В этом параллельном векторном поле компоненты будут функциями координат Если через любую точку этого поля

проведем некоторую кривую, то, очевидно, векторы на этой кривой будут удовлетворять уравнениям (1.70), Учитывая, что теперь мы имеем

уравнениям (1.70) придадим вид

Принимая во внимание, что условие (1.71) должно быть удовлетворено для всех кривых, выходящих из точки получим, что параллельное векторное поле удовлетворяет системе дифференциальных уравнений вида