§ 33. Уравнения в компонентах напряжений

Рассмотрим основные уравнения статики линейно-упругого изотропного тела

Девять уравнений (5.26) и (5.27) содержат девять неизвестных функций

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана; тогда после ряда преобразований иайдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел.

Подставляя (5.27) в условия Сен-Венана (3.45), после ряда преобразований получим

и еще четыре подобных соотношения, соответствующих также условиям (3.45). Продифференцируем первое уравнение (5.26) по второе — по третье — по и сложим их; тогда

Внося (5.30) в (5.28), будем иметь

или

Два последних соотношения получаются аналогично из оставшихся двух уравнений типа (5.28).

Складывая последние равенства, найдем формулу

Подставляя (5.32) в (5.31), получим

Эти равенства составляют первую группу соотношений Бельтрами — Митчелла.

Для получения второй группы соотношений Бельтрами — Митчелла преобразуем (5.29). С этой целью продифференцируем второе уравнение (5.26) по третье — по и сложим их; полученный результат суммируем с (5.29); тогда будем иметь

Аналогично получаются остальные два уравнения этого типа.

Таким образом, вторая группа соотношений примет вид

Следовательно, соотношения Бельтрами — Митчелла представляют собой шесть линейных дифференциальных уравнений, содержащих шесть функций

Важно отметить, что система уравнений (5.33), (5.34) пригодна только для случая линейно-упругого изотропного однородного тела при изотермическом или адиабатическом процессе деформирования его, тогда как шесть уравнений совместности Сен-Венана пригодны для любого тела.

В случае, когда массовые силы отсутствуют или постоянны, соотношения Бельтрами — Митчелла принимают вид

Подобным образом при помощи (4.50) и (2.30), когда уравнениям совместности (3.40) в цилиндрической системе координат придадим вид

Для осесимметричной задачи уравнения (5.36) примут вид

так как а остальные компоненты тензора деформации не зависят от координаты