§ 27. Различные случаи упругой симметрии тела

В теории упругости рассматриваются тела однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные. Однородным называют тело, упругие свойства которого одинаковы во всех его точках; изотропным называют тело, упругие свойства которого одинаковы во всех направлениях. В противном случае тело называется неоднородным и анизотропным. Примером анизотропных тел являются кристаллы.

Применяемые в технике металлы и их сплавы имеют поликристаллическую структуру в виде беспорядочно расположенных кристаллических зерен. Поликристалл, размеры которого одного порядка с размерами кристаллических зерен, по своему существу неоднороден и анизотропен. При сравнении между собой образцов, размеры которых значительны по сравнению с размерами отдельного зерна, ввиду произвольности ориентации зерен и малости их размеров по сравнению с размерами образца (от долей микрона до десятков микронов), поликристалл ведет себя, как однородная и изотропная сплошная среда.

Следует отметить, что условия изготовления, а также различные виды механической обработки вносят в металл более или менее существенную анизотропию и неоднородность, поэтому всегда имеет место лишь приближенная однородность и изотропность материалов.

Симметричность структуры анизотропных тел приводит к связям между коэффициентами упругости. Мы рассмотрим некоторые частные случаи упругой симметрии.

Для анизотропных линейно-упругих тел, когда процесс деформирования происходит изотермически или адиабатически, ввиду того, что число коэффициентов упругости равно 21.

Пусть тело обладает одной плоскостью упругой симметрии, которую примем за плоскость При изменении направления оси на обратное следует поменять знаки следовательно, изменяются и знаки компонентов деформаций

Изменение направления оси на обратное не должно менять величину упругого потенциала А, так как она является инвариантом. Поэтому в формуле (4.28) должны исчезнуть члены, содержащие в первой степени, т. е.

Таким образом, в случае, когда тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, число упругих постоянных уменьшается до 13.

Пусть тело обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств. Примем эти плоскости за координатные плоскости Чтобы величина упругого потенциала не изменилась от изменения направления оси на обратное, вследствие чего изменится знак у компонента кроме условий (4.29), следует положить

Следовательно, если тело в каждой точке имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии упругих свойств, то имеется только 9 не равных нулю упругих постоянных; их можно представить в виде матрицы

Из рассмотрения этой матрицы следует, что если в теле имеются две ортогональные плоскости упругой симметрии, то третья ортогональная к ним плоскость будет также плоскостью упругой симметрии. Такое тело называется ортотропным.

Если тело обладает упругими свойствами, одинаковыми относительно каждой из трех плоскостей симметрии, то, чтобы при изменении оси на ось оси на ось и оси на ось т. е. при перемене между собой или не изменилась величина упругого потенциала, кроме условий (4.29) и

(4.30), должны быть соблюдены еще условия

Следовательно, когда тело обладает упругими свойствами, одинаковыми для каждой из трех плоскостей, упругий потенциал имеет вид

и тогда остаются только 3 независимые упругие постоянные.

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инварианты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора деформаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е.

Таким образом, изотропное тело характеризуется лишь двумя упругими константами Применяя формулы (4.20) и при этом учитывая, что в них величины представляют угловые деформации, тогда как в (4.33) они обозначают половины угловых деформаций, из формулы (4.33) получим

где объемная деформация, символы Кронекера.

Принимая во внимание введенные Ляме обозначения

получим формулы компонентов тензора напряжений для линейноупругого изотропного тела через компоненты тензора малой деформации

Постоянные называются упругими постоянными Ляме.

Эти формулы, выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела

Заметим, что формулу (4.33) в силу формул (4.34) можно теперь представить в виде

Здесь суммирование ведется по обоим индексам

Так как энергия деформации всегда положительна, то из формулы (4.36) заключаем, что Действительно, если выбрать тензор таким, что то (4.36) примет вид

откуда

Докажем, что в каждой точке изотропного тела главные направления тензора деформаций совпадают с главными направлениями тензора напряжений. Примем главные направления тензора деформаций в некоторой точке тела за оси координат, тогда будем иметь в силу формул (4.35) также что и требовалось доказать. Поэтому для изотропных тел не различают главные направления тензора деформаций и тензора напряжений; те и другие называются главными направлениями.

Пусть изотропное тело испытывает осевое растяжение; напряженное состояние в каждой его точке дано в виде

тогда формулы (4.35) примут вид

Складывая эти формулы, получим

Внося (4.38) в первую формулу (4.37), будем иметь

Сравнивая (4.39) с формулой закона Гука для осевого растяжения призматического бруса, найдем

Из двух последних формул (4.37) с учетом (4.38) имеем

Подставим в эту формулу значение из (4.39) и введем обозначение

тогда

Равенства (4.42) выражают закон поперечного сужения при осевом растяжении, причем называется коэффициентом Пуассона.

Допустим, что изотропное тело подвержено всестороннему гидростатическому давлению, тогда

Учитывая (4,43), из (4.35) получим

Складывая формулы (4.44), будем иметь

Вводя обозначение

где К называется модулем объемного сжатия, из (4.45) получим

Согласно закону сохранения энергии при происходит уменьшение объема; учитывая это, из формулы (4,47) имеем На основании формул (4.40), (4.41) и (4.46) величины и К выразим через

Из двух последних формул (4.48), учитывая, что получим откуда область возможных значений коэффициента Пуассона будет

Как видно, коэффициент Пуассона может принимать также некоторые отрицательные значения. Однако, как показывают опыты, коэффициент Пуассона для известных материалов принимает положительные значения, поэтому вместо неравенства (4.49) будем иметь

Для очень многих материалов имеет приблизительно одно и то же значение, близкое к Следовательно, из первой формулы (4.48) имеем

Таким образом, из (4,36) вытекает, что энергия деформации А есть положительно определенная квадратичная форма компонентов

тензора деформаций, обращающаяся в нуль только тогда, когда компоненты тензора деформаций одновременно равны нулю.

Решая (4.35) относительно компонентов тензора деформаций и учитывая две первые формулы (4.48), мы получим обобщенный закон Гука для изотропного тела,

где