§ 14. Определение главных нормальных напряжений
Возьмем прямоугольную декартову систему координат 
Направление, определяемое единичным вектором 
с компонентами 
называется главным направлением симметричного тензора напряжений 
если вектор 
параллелен вектору 
где 
скалярная величина.
Последнее соотношение зашишем в виде
Равенства (2.32) относительно представляют линейную однородную систему трех уравнений. Условием существования ненулевых решений является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы
Докажем теперь, что все его корни вещественны; обозначим их через 
. Предположим противное: пусть 
соответствующие значения подставим это в (2.32).
Если затем сравним действительную и мнимую части, то получим
Умножим первое равенство на 
а второе — на 
и просуммируем по 
от 1 до 3. Вычитая один результат из другого и учитывая симметричность 
получим
Учитывая, что не все 
равны нулю и каждое слагаемое внутри скобок (2.34) положительно, приходим к выводу, что 
Следовательно, корни уравнения (2.33) всегда действительны и соответствующие им значения 
будучи решениями системы линейных уравнений с действительными коэффициентами (2.33), также будут действительными. Величины 
называются главными компонентами тензора напряжений, а 
являются их направляющими косинусами.
Предположим, 
два неравных корня, а 
соответствующие значения 
тогда из (2.32) найдем
Здесь по индексам 
суммирование не производится. Если умножим (2.35) на 
а (2.36) на 
то, вычитая один результат из другого, а затем принимая во внимание симметричность 
получим
Так как 
Таким образом, в этом случае главные направления тензора напряжений ортогональны и определяются единственным образом. Если уравнение (2.33) имеет два одинаковых корня, например, 
то направление 
соответствующее третьему главному направлению, будет перпендикулярно плоскости 
Следовательно, любые два взаимно ортогональные направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной к 
могут быть приняты за соответствующие главные направления. Если, наконец, все три главные напряжения равны между собой, то любые ортогональные направления можно принять за главные.
Теперь кубическое уравнение (2.33) запишем в виде
По свойству корней кубического уравнения соотношения между корнями и коэффициентами имеют следующий вид:
Возьмем матрицу С в виде
Определитель этой матрицы представляет собой левую часть уравнения (2.33), записанную в произвольной криволинейной системе координат 
Рассмотрим непрерывные взаимно-однозначные преобразования координат 
Согласно преобразованию смешанных тензоров (1.12) мы имеем
Введем здесь обозначения
тогда
Отсюда заключаем, что детерминанты матриц 
равны. Таким образом, уравнение
инвариантно относительно выбора системы координат и корни его всегда определяют главные компоненты тензора напряжений. Следовательно, коэффициенты уравнения (2.37) являются инвариантами относительно преобразования координат, так как они полностью определяются корнями, т. е. главными значениями тензора напряжений, Раскрывая (2.38), получим формулы для инвариантов
Если координатные оси совместить с главными направлениями тензора напряжений, то в этой системе координат компоненты 
обратятся в нулю; остаются лишь действующие на этих площадках нормальные напряжения 
